根據這個定義 sqrt(2) 就必須是實數
再近的兩個無理數之間的那塊區域也不是隻剩下了幾個有理數點或者無理數點, 而是依然是連續的, 有無窮多個實數的,如果還是不能理解的話,題主可以用類似的方法去證明一下,為什麼任意兩個無理數之間也至少有一個無理數
註釋:【可知每個歸納集都包含,故包含的所有有限次後繼,即】總結一下:歸納集的存在由無窮公理規定自然數定義為所有歸納集的交集整數定義為的商集,等價關係為,表示有理數定義為(或者)的商集,等價關係為,表示實數定義為取值於的柯西列的集合的商集,等
如何問一個好的問題如果你對實數好奇,想知道哪些是有理數,哪些是無理數,哪些是代數數,哪些是超越數,那麼你這樣問問題就不是一個好的方式
有理逼近論意義下:對於任意正實數,我們定義它的無理度量為根據Roth‘s Theorem可以證明對任意代數數有,另外可以證明構成的集合為為零測集[1]
在說明覆數的模有什麼意義之前,應該先回憶實數的絕對值
主要涵蓋:自然數、整數、有理數、無理數、代數數、超越數、實數等
帥氣的康托爾,為數學奉獻一生最後住進了精神病院讓每個客人都能拿到自己的“房卡”同樣是無窮集合,如果集合裡的元素能夠與全體正整數構成一一對應的關係,我們就說它是可數的,否則就說它是不可數的
先要知道等於的定義就完了定義,不存在任何數m,使得a<m<b,b<m<a
2、實數系的產生原子論與無限可分(無限累加)是認識論裡面的一對矛盾,自然數就是這一對矛盾的產物
可以重複使用正整數的情況首先二分之一的n次方求和的極限為1那麼對於任何≥1的實數,整數部分都可以用多個2的n次方的倒數求和完成
一個實數集合被稱為開集,如果對任意,存在使得
如果是可數,那麼在自然數和實數之間就會有一個雙射
但是0,1序列的全體是不可數的(這個事情的證明需要康託的對角線方法,這裡多少有點構造性的意味),這意味著a和b之間存在著不可數個非有理數的實數,我們把它們叫做無理數
9迴圈的定義就是上面那個極限所以這玩意等於10
這是一個錯誤的問題最接近零的非零實數是不存在的,因為你任取一個非零數ε,在它和零之間仍然會有無窮多個有理數和無理數如果a不為0,a/2永遠比a更接近0,所以沒有最接近0的實數
複數域是最大的數域
首先是指數為有理數時候的定義, 從嚴謹性來說, 一個正實數的次根是否在實數集也是需要證明的, 用的理論也不復雜, 就是上確界存在性質:sup就是後面集合的上確界的意思
所以有,其中假設圓心到數軸的距離為2 (實際上你可以取任何不為0的數值),那麼就有也就是所以,我們就用這種直觀的影象方法證明了區間上的實數,和中的實數一樣多(等勢)可能有人會好奇,是不是隻要有兩個無窮多的集合,它們就應該是等勢的
謝邀,先拋磚引玉一下,構造性證明的是在於實數集的完備性基礎之上,這方面可以參見Liouville對超越數的存在性構造性證明,卓裡奇的《數學分析》實數部分一道習題於此有關(第11題),這個其實就是就對超越數的一種構造性證明