您當前的位置：首頁 > 農業

如何證明1的pi次方等於1？

作者：由 gyy 發表于農業時間：2021-07-09

端木弗貢2021-07-09 15:44:36

$1^\pi = (1^0)^\pi = 1^{0\cdot\pi} = 1^0 = 1$

絕零之冰2021-07-09 17:10:57

按照題主的想法其實是想要知道這個吧？

1的任何次方都是1，前一位答主證明過了。

絕零之冰：如何不依靠計算器和數學用表，手動給非平方數開根號？

「已登出」2021-07-10 01:51:18

$\begin{align} &1.\space(\forall a\in\mathbb{R}-\{0\},\forall m\in\mathbb{Z}),(a^0=1,a^{m+1}=a^m\times a,a^{m-1}=a^m/a)\\ &2.\space(\forall a\in\mathbb{R}^+,\forall n\in\mathbb{N}^+,\forall m\in\mathbb{Z}),a^{m/n}=\sup\{c\in\mathbb{R}|c^n\le a^m\}\\ &3.\space(\forall a\in\mathbb{R}^-,\forall n\in\mathbb{N},\forall m\in\mathbb{Z}),a^{m/(2n+1)}=(-(-a)^{1/(2n+1)})^m\\ &4.\space(\forall a\in\mathbb{R}^+,\forall b\in\mathbb{R},(\forall n\in\mathbb{N},b_n\in\mathbb{Q},\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b)),a^b=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{b_n}\\ &5.\space\forall b\in\mathbb{R}^+,0^b=0 \end{align}$

以上定義符合中學生的認知，其它體系的定義這裡不必敘述。

第

條，正負兩個方向都使用數學歸納法，可知

$\forall m\in\mathbb{Z},1^m=1$

第

條，可知

$\\\begin{align}&\forall n\in\mathbb{N}^+,\forall m\in\mathbb{Z}\\1^{m/n}&=\sup\{c\in\mathbb{R}|c^n\le1^m\}\\&=\sup\{c\in\mathbb{R}|c^n\le1\}\\&=\sup\{c\in\mathbb{R}|-1\le c\le1\}\\&=1\end{align}$

第

條，任找數列

$\{b_0,b_1,b_2,...\}$

，滿足

$\forall n\in\mathbb{N},b_n\in\mathbb{Q}$

且

$\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\pi$

（例如

$\{3,3.1,3.14,...\}$

）。由

$b_n\in\mathbb{Q},1^{b_n}=1$

得

$1^\pi=\lim_{n\rightarrow\infty}1^{b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}1=1$

一更

我現在來解釋一下，我當初寫這回答的時候，是側重用有理數逼近無理數來計算的，中小學課本就是這樣寫的，現實中人們使用實數都只擷取有限位計算，如果誤差太大，那就再多擷取幾位。

我依稀記得，當年初中課本解釋無理指數冪的時候，就是以

$a^\sqrt2,(a>0)$

為例子的。

$\{a^{1.4},a^{1.41},a^{1.414},...,a^\sqrt2,...,a^{1.415},a^{1.42},a^{1.5}\}\\$

就是利用有理數兩端逼近。

別用

$a^b=\exp(b(\ln|a|+i(\arg(a)+2k\pi)))$

，偏離中學課本太遠。

《陶哲軒實分析》裡用柯西序列定義實數，符合了人們對實數的理解，也就是有理數逼近。《陶》對指數的定義沒有第

條和第

條，也就是說

$(-1)^{1/3}$

和

$0^\sqrt2$

沒有定義，我至少在兩個不同的地方看見陶哲軒否認了負底數冪。這兩條是我加上去的，目的是為了符合中學課本。

不過我現在想想，我這麼寫貌似不妥。首先，

$\sup$

符號就不該出現。然後，

從第 #FormatImgID_22# 條開始，每一條定義都需要證明合理性。

其實證明篇幅是很長的，我偷懶省略了。

下面我摘抄自《陶哲軒實分析》第3版第6章第7節。

注意了，我沒有抄完整，只抄了部分。

知乎使用者2021-07-12 04:00:56

我猜你內心是無法理解當指數為無理數時，那個數到底是什麼。

實際上這只是一個符號或者一種約定而已，表示1的

$\pi$

次方。這種數在實數集內還有很多，比如

$\pi^e,3^\sqrt{2}$

這種，它恰好可以寫成你能理解的符號。反面例子是我隨意寫出一個無理數3。21831。。。，你不知道它是什麼，也就不會和其他已知概念相糾纏，知不知道都無所謂。

數學家更在意的是

$1^\pi$

為什麼存在於實數集，也就是這個符號有意義。這來源於實數集上一個與眾不同的公理：完備性公理，它可以推匯出上確界存在性質：任意一個有上界的實數子集，總存在最小上界（上確界）。

首先是指數為有理數時候的定義

$a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m=(a^{1/n})^m$

，從嚴謹性來說，一個正實數的

次根是否在實數集也是需要證明的，用的理論也不復雜，就是上確界存在性質：

$a^{1/n}=\sup\{t\in\mathbb{Q}^+|t^n<a\}\\$

sup就是後面集合的上確界的意思。

然後構造一個上確界為

$\pi$

的序列

$\{a_n\}$

：

$a_n=r\in(\pi-\frac{1}{n}，\pi) \;且\; r\in\mathbb{Q}\\$

上面有一些預備知識：任意兩個實數之間總能取到有理數

；隨著

增大，

的取值被限制，會越來越接近

$\pi$

。這些需要證明，但相信這些事實你能接受。

最後

$1^\pi=\sup\{1^{a_n}|n\in\mathbb{N}\}\\$

迴應題主的問題，判斷1和

$1^\pi$

是否相等可以將它每個項與1相減，然後看獲得的集合的上確界是否為0。

存在性的證明只用到了上確界存在性質，這個性質保證了實數軸上沒有“洞”，連續函式上的很多“顯然”性質（比如閉區間上的函式有最值點）都來源於此，知乎上的日經問題0。999999。。。=1都可以用它來解決。

思而不學則殆，題主能想到問這個問題很好，但不能自己想，要多看書。這種涉及實數構造的問題幾乎可從任意一本數學分析教材前面幾章可以看到。我推薦我現在自己學用到的書：

《陶哲軒實分析》從自然數開始講起，入門容易，思路與眾不同；

卓裡奇的《數學分析》經典的系統性教材，而且是俄係數學，比較符合中學的數學教材習慣。可以此為主要學習書籍，但裡面的習題選擇做，不然會懷疑人生的；

Rudin《數學分析原理》提供很多定理的證明思路，作為參考書；

H。Amann《分析》三卷，高屋建瓴，其作者自述是為自學者準備的，但無中文。

小紫然2021-07-13 11:47:48

甚至1^i也等於1

1^i=e^（i*ln（1））=e^0=1

標簽：實數確界第條陶哲軒有理數

上一篇:網上的記憶體卡能買嗎？

下一篇：在同濟成績不好怎麼辦?

猜你喜歡