證:根據“格”的定義,和是上的二元運算子
其首先用有理數集合的切割為基礎匯出無理數定義,接下來拓展到實數的定義,最後證明切割定理,使用切割定理推出確界存在定理(實數系連續性定理)
所以無理數不存在有理數的上下確界
證明:(a) 對任意,,故,於是
接著我們再用Archimedean性質說明Q在R中是稠密的,為了比較嚴格地刻畫“稠密”這個概念,我們先定義度量空間(或者更直白地叫“距離空間”,我們把符合生活直覺的“距離”這一概念抽象出來):定義1.1.設是集合,對於對映,如果d滿足以下三
我根據書上的定義做出如下總結:最大元素就是在子集(例題中指B={2,3,5})中處於最高層且每個元素透過圖中路徑都可以找到它且它的上面沒有元素
由於,集合列的上極限也可以表徵為再來一個繞口令:對於上極限集中的元素,在任意給定一個後,我們總能在後(即)找到一個集合包含,這就保證了屬於無限個集合
證明:設是數集的一個下界,定義數集, 根據定理1
為了敘述可積的充要條件,先給出達布和的定義:對於劃分,會出現相應的小區間,區間長度為,每個小區間上都存在上確界和下確界設,稱為達布大和
大體就是這個思路我覺得,可能計算出現錯誤,輕噴假設存在上確界(n/m),當其平方<2時,找到一個有理數r,使有理數[(n/m)+r]的平方<2,也就證明了上確界不存在
首先是指數為有理數時候的定義, 從嚴謹性來說, 一個正實數的次根是否在實數集也是需要證明的, 用的理論也不復雜, 就是上確界存在性質:sup就是後面集合的上確界的意思
定義:對於在實數集的子集的函式若存在常數,使得則稱符合利普希茨條件,符合條件的最小的稱為的利普希茨常數
如果對任意的n都有,那麼每一項都是既是最大值又死最小值,與假設衝突
那麼是有界函式,也即存在著有限的常數和,使得當時原則上,從實數系的每個基本定理(及與之等價的命題)都可以證明有界性定理,這裡選取幾種證明方法證明:(一)使用Bolzano-Weierstrass定理陶哲軒《分析》,P194菲赫金哥爾茨《微積
所有收斂子列極限中最小的極限為-1,也即下極限為-1,上面的例子和描述只是從感性層面來講的,下面順帶給出更加嚴格一點的定義一維點集上確界定義:考慮一維歐氏空間中的一個集合,若存在,使得對於,都有,則稱是集合的一個上界
這裡最值的定義是:有最大值是指有最小值是指這也是為什麼古典的分析學是建立在實數上的
(Cauchy完備性)所有Cauchy序列都收斂+(Archimedes性)無上界名詞解釋有界,收斂,上確界:這還用解釋嗎哼~聚點:是的聚點,若閉集:是閉集,若的所有聚點都在中緊緻集:是緊緻集,若對於任意的開集族滿足(稱為開覆蓋),都存在有
性質壹若是定義在上的有界函式記上確界為,下確界為,則證明:,根據定義我們有則為在上的一個下界又是的上確界,則有總使得可以得到因此為在上的下確界即:,根據定義我們有則為在上的一個上確界又為的下確界,則有總使得可以得到因此為在上的上確界即:性質
單調有界定理,可以利用實數系連續性定理——確界存在定理+語言證明,它的作用包括了從數列本身來研究數列的斂散性,可是這跟實數的連續性/完備性有什麼關係
若存在的上界使得對於任意的上界成立則稱是的上確界,記為介紹確界概念,是為了接下來敘述確界定理,它體現出了實數集的一個本性