不可以的可以改為有理數都能用數軸上的點表示,數軸上的點表示的數是實數,即有理數和無理數的集合,在數軸上,除了0要用原點表示外,要表示任何一個不為0的有理數,根據這個數的正負號確定它所在數軸的哪一邊,在相應的方向上確定它與原點相距幾個單位長度
自然數:N,正整數:N+,整數:Z,有理數:Q,實數:R,複數:C
在初等數學範圍內,可以用有理數表示的無理數(如根號2)和不能用有理數表示的無理數(如自然對數的底數、圓周率)沒有區分的價值,區分這兩類無理數並沒有多大的意義
如3、-5、1/8、-3/4、0等都是有理數
當然如果接受另一個回答評論中@Yuhang Liu提到的映到的共軛形式,還是可以表示的:設,定義的共軛為,則有理數可以表示為:
迴圈是有理數的最大特徵,因為即使是整數,有限小數,也可以看成其小數部分是0的迴圈,分數即使是無限小數,但在不超過分母的有限次數內,其必然會迴圈
等44個整數有理數
f和g都只在0處連續,任意非零實數都是間斷點,所以顯然是不可積的討論的是黎曼積分,不妨考慮限制在上,那麼的不連續點集:因為每個,至少可以取中有理數列使得,同理可以取中無理數列使得
極限運算對實數集封閉而對有理數集不封閉,這種差異產生的根源正在於實數集具有有理數集所不具備的連續性(或稱完備性),包括單調有界原理在內的幾個實數基本定理正是從不同角度對這一實數特有性質的刻畫
pdf感謝 @寨森Lambda-CDM 提供的參考資料,現將資料貼上如下:基本思路是先把換成,換成,這樣就將圓錐曲線齊次化了,,然後將這個二次型對角化,變成,再考慮這個方程的非平凡整數解(有理數解)
否則,你問了一個問題就好像“我現在準備了一頭豬,請問阿黃是個男人還是條狗
這些性質直接影響到接下來要介紹的開方運算:【底數的正負與指數的奇偶】設:如果是偶數(即存在整數使得),那麼一定是一個正數,並且一定有
)∵c+b=a+d⇔=得證對稱性若=,並且=根據定義②可得a+d=c+b和c+f=d+e把兩式相加(話說這個相加的操作我想了半天感覺應該是透過自然數消去律的逆命題可得,不過還要加上自然數的相等,我感覺自然數的相等應該是這樣定義的:∀n∈N,
實數域是完備性的,對於實數,任意兩個不相等實數之間一定存在其他實數,就像a3.對於其他點集(不是完備性點集),不相等的數之間不一定存在其他數
所以是的最大數如果集合存在最小數,那麼由於有理數的稠密性可知存在有理數由於,則,由於,與是的最小數矛盾同理可以證明第二種情況(其實我就是懶得寫了)下面證明第三種情況:那麼切割將定義一個無理數,且對於任意,,則對於有兩種情況:1
第二個問題可以用實數和有理數集的勢來證偽 pi*a是可數的e*b也是可數的 pi*a+e*b也是可數的 而無理數是不可數的
下面記做,代表中的第個有理數(具體怎麼排的無關緊要)設顯然由測度的平移不變性可知,(若為,則為可測集,矛盾)易得,且單調遞減,可知右側極限存在,且為一正數
所以無理數不存在有理數的上下確界
其實,有理數和無理數本就沒有那麼多明確的關係
發散到我們發現,第一種情況恰好對應全體有理數,而第二種情況恰好對應了全體窟窿眼兒於是,我們可以定義#FormatImgID_54# 為所有有理柯西列的極限的集合[1],這是康托爾(Georg Cantor)對實數的定義沒有窟窿,所以#For