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這兩個函式怎麼判斷是否黎曼可積？

作者：由匿名使用者發表于收藏時間：2022-01-24

77777772022-01-24 09:45:06

f和g都只在0處連續，任意非零實數都是間斷點，所以顯然是不可積的

匿名使用者2022-01-24 11:47:29

討論的是黎曼積分，不妨考慮

限制在

上，那麼

的不連續點集

：因為每個

$a\in(0,1]$

，至少可以取

中有理數列

$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

使得

$\lim_{n}x_{n}=a$

，同理可以取

中無理數列

$\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

使得

$\lim_{n}y_{n}=a$

。然而

$\lim_{n}f(x_{n})=0\not=a=\lim_{n}f(y_{n})$

，從而

$a\in D(f)$

。而

在

連續是顯然的。

對

就沒有什麼需要討論的了。

上官正申2022-01-24 21:39:09

這兩個函式均是黎曼不可積的，但是均是勒貝格可積的。

有理數在數軸上是稠密的。

即我們在任意小的開區間內一定存在在理數。下因為如此，無論我們將

$\Delta x$

取到多麼小，對於一個小區間，

在這個區間上的振幅均為

$f(x)-0=x_{0}$

，其中

$x_{0}$

為小區間的右端點，並不趨於

，因此它是

黎曼不可積

的，對於

也是同理。

但是它們是勒貝格可積的，因為有有理數是可列集，因此可以用區間長度為

$\frac{1}{2}\varepsilon, \frac{1}{4}\varepsilon, \cdots$

的開區間覆蓋所有有理數，則有有理數的測度即區間總長度為

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}\varepsilon=\varepsilon$

令

$\varepsilon\rightarrow0$

時，可知有理數的測度為

，因此只關心無理數即可。只關心無理數，

顯然是可積的。

標簽：有理數可積區間無理數開區間

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