【數學筆記】15-什麼是有理數？

一、定義

如果一個數x能夠被寫成p/q形式，其中p和q是整數，且q≠0，這個數x被稱為是“有理數rational number”。

從定義中可以看出，有理數就是能被寫成分數且分母不是0的數。如3、-5、1/8、-3/4、0等都是有理數。

全體有理數構成有理數集，用符號Q表示。

有理數集Q很難用“清單形式”寫出來，只能用“結構式”來表達：

Q = { x | x = p/q， p∈Z， q∈Z， q ≠ 0 }，其中Z是整數集。

二、特徵：

有理數具備3大特徵，即無限性、有序性和稠密性。

無限性：有理數集Q是無限的，其中有無限多個元素。

有序性：給定任意兩個不同的有理數a和b，總可以確定那一個大，那一個小。而且，如果b>a，c>b，則c>a。

稠密性：有理數處處稠密，也就是說在任意兩個不同的有理數a和b（a < c）之間，總是存在至少一個有理數c（a < c < b）。從而，在任意兩個不同的有理數之間，存在著無限多個其它的有理數。

例1：如何證明有理數的稠密性？

設：a和b都是有理數，且a < b；

取a和b的平均值c，c = （a + b ）/2。由於a和b都是有理數，所以c也一定是有理數，且 a < c < b；

取a和c的平均值d，同上可以得出a < d < c；

如此類推，可以證明a和b之間存在著無限多隔有理數；

所以，有理數是處處稠密的。

三、整數與運算律：

1、封閉性（Closure Property）

對加法、減法、乘法和除法運算，有理數數遵守封閉性：兩個或多個有理數之和一定也是有理數數；兩個或多個有理數數之差也一定是有理數數；兩個或多個有理數之積一定也是有理數；兩個有理數相除，如果除數非0，結果一定是有理數。

除數為0是什麼結果？

需要指出的是，如果除數為0，除法運算無意義，得不到任何結果。

有時把除數為0的除法結果稱為無限大，即a/0 = ∞，但這並不意味著這一運算有意義。∞ 只是一個符號，其意義是當除數趨於0而被除數非0時，商的絕對值可以大於任何有限的實數（包括有理數和無理數）。

2、結合性（Associative Property）：

對加法和乘法運算，有理數遵守結合性：

a+（b+c）=（a+b）+c

ax（ bxc ） = （ axb ） x c

對減法和除法運算，有理數不遵守結合性：

（b-c）≠（a-b）-c

a÷（b÷c）≠（a÷b）÷c

3、交換性（Commutative Property）：

對加法和乘法運算，有理數遵守交換性：

x + y = y + x

a x b = b x a

對減法和除法運算，有理數不遵守交換性：

x-y ≠ y-x

a÷b ≠ b÷a

4、分配性（Distributive Property）：

對加法運算，有理數遵守乘法分配性：

ax（b+c） = ab+ac

對減法運算，有理數遵守乘法分配性：

ax（b-c） = ab-ac

有理數

加法

乘法

減法

除法

交換性

a + b = b + a

a × b = b × a

a – b ≠ b – a

a ÷ b ≠ b ÷ a

結合性

a+（b+c）=（a+b）+c

a×（b×c）=（a×b）×c

（a–b）–c ≠ a–（b–c）

（a ÷ b） ÷ c ≠ a ÷ （b ÷ c）

單位元

a + 0 = a = 0 + a

a × 1 = a = 1 × a

a – 0 = a ≠ 0 – a

a ÷ 1 = a ≠ 1 ÷ a

封閉性

a + b ∈ Q

a × b ∈ Q

a – b ∈ Q

a ÷ b ∈Q，b≠0

分配性

a × （b + c） = a × b + a × ca × （b − c） = a × b − a × c

四、需要進一步思考的問題：

從有理數的定義可以得出，所有的有理數都可以寫成分數p/q，q ≠ 0 的形式。而分數可以寫成有限的十進位小數或無限迴圈的十進位小數，即：

3/4=0。75，有限的十進位小數。

1/3=0。333333。。。。。，無限迴圈的十進位小數。

有理數也可以寫成一個有限的連分數（Continued Fraction），連分數是一種特殊的繁分數。

從有理數可以引出分數、連分數、繁分數的概念。