單調有界的有理數列是不是不一定有極限呢，為什麼呢？

予一人2020-07-08 11:12:41

單調有界的有理序列在有理數集中可能不存在極限，因為極限運算對有理數集不封閉。比如單調遞增且有界的經典的有理序列

其極限是無理數

如果不新增無理數進入數系，這個極限只能說不存在。

但是，極限運算對實數集是封閉的，也就是說，對任意實序列求極限，如果這極限存在，它一定還是個實數，不會再產生新的數了，這由

收斂原理所保證。

這裡岔開說幾句。數對某種運算不封閉，往往成為引入新數的動機和理由。比如說，自然數集對減法不封閉，於是我們引入負整數，從而構造了整數集。整數集對除法不封閉，我們又引入分數，從而構造了有理數集。有理數集對極限運算不封閉，這在理論上的確是可以成為引入無理數的理由，儘管歷史上無理數並不是從這條路徑產生的（請想想

的故事），但

卻真就是從這個角度來定義無理數的。

極限運算對實數集封閉而對有理數集不封閉，這種差異產生的根源正在於實數集具有有理數集所不具備的連續性（或稱完備性），包括單調有界原理在內的幾個實數基本定理正是從不同角度對這一實數特有性質的刻畫。

知乎使用者AOW4Fe2020-07-08 12:02:04

個人僅針對問題中“單調有界數列一定有極限”與“這個定理的成立，有賴於在有理數的基礎上添加了無理數，否則結論不一定總是對的”是否矛盾來說一下。

這兩句話是不矛盾的，前一句說明了極限的存在性，後一句則強調了一遍實數的完備性，畢竟單調有界定理本來就是實數完備性定理中的一個。

換句話說，一個單調有界的有理數列確實存在極限，但是這個極限不一定就是有理數。因此，我們的數系如果不引入無理數而只是有理數的話，那麼這時候極限可能就無法討論（因為極限可能是無理數）。

這就有點像我們在集合{1，2}中來討論1+2，結果發現沒有解是一個道理。

聖徒熱內2020-07-12 19:10:49

單調有界的實數列都有極限，這是實數集的完備性的體現。

FA(Yang)2020-08-06 22:38:35

這個問題從本質上來說是一個有關空間完備性的問題。

學過泛函分析之後，你會知道這個定理不止在只考慮有理數是不對的，還有很多情況不滿足。比如實直線上的開區間中的點列也不一定滿足。

首先實直線上的開區間關於絕對值距離組成的距離空間不完備，原因是實直線上開區間中的Cauchy點列不一定是收斂列。例如：取（0，1）上的點列：Xn=1/n，對任意的ε>0，取N=1/ε，則當n>m>N時，有d（Xm，Xn）=|1/m-1/n|<1/m=ε，故Xn為Cauchy點列。而Xn=1/n→0（n→∞），但0∉（0，1），在這種情況下考慮依距離收斂是沒有意義的，即{Xn}不是收斂點列（距離空間中收斂點列的定義：設{Xn}為距離空間（X，d）中的點列，若存在x∈X，st，d（Xn，x）→0（n→∞），則稱{Xn}為收斂點列，並且{Xn}依距離d收斂到x。）

其次回到問題本身，以上述給出的例子為例，（0，1）上的{Xn}顯然滿足單調有界，但是{Xn}在（0，1）不是收斂列。類似這樣的例子很多，例如數學分析學過的重要極限：（1+1/n）^n→e（n→∞），wallis公式等等（有理數集關於絕對值距離不完備）。事實上，從上面討論的過程中我們可以看到的不僅僅是單調有界原理不一定成立了，而且Cauchy收斂準則也不一定成立了，說明了其定理的侷限性。

最後也就是說單調有界的數列必收斂的前提是隻考慮一維實直線R上的數列，原因是實數集R完備。此即數學分析中的單調有界原理。而數學分析中的很多定理都是基於實數集的完備性而建立的。於是一旦跳出實數完備性的框架之外，有些定理就不一定成立了。

知乎使用者2020-08-07 16:59:53

單調有界有理數列當然有極限，但是不一定有有理數的極限。最簡單的例子就是pi的值，取前n位有效數字作為有理數列的第n項，這個數列每項都是有理數，也是遞增的，也不大於4，但它的極限就是pi