其首先用有理數集合的切割為基礎匯出無理數定義,接下來拓展到實數的定義,最後證明切割定理,使用切割定理推出確界存在定理(實數系連續性定理)
那麼,又可以假設王逸以“陽之數”、五臣以“陽數之極”作解釋的《九歌》的“九”,應該是一個具體的數字,即實數“九”
實數域是完備性的,對於實數,任意兩個不相等實數之間一定存在其他實數,就像a3.對於其他點集(不是完備性點集),不相等的數之間不一定存在其他數
由於虛數不能比較大小,所以虛數空間沒有大小體積一說
因為矩陣就是新型的數啊,廣義的數問題可以等價為一個一階實方陣可以等價為一個實數這部分在近世代數中有體現一個比較容易接受的觀點是“實數集與一階實矩陣同構”,則二者可以直接代換
分式/無理方程增根和無解問題分式方程的一般解法:去分母 化簡 移項 最後得到的應該是一個一元二次/一元一次方程無理方程只需要兩邊平方即可 若平反後仍有根式則把根式單獨放到一邊繼續平方把這個方程解出來一元一次方程ax=b的根為x=b/a一元二
下面的基本事實也可以當作公理來間接地規定應該怎麼使用小於等於符號(從而也就規定了其他符號):【基本事實2】實數間的小於等於關係具有下面的性質(下面的小寫拉丁字母都代表一個實數):(自反性)
——(求最小值時)柯西不等式+分式形式上臺階,競賽,柯西不等式分式形式實際是權方和不等式的特殊情形對任意正實數有當且僅當時,取“=”號
所以是的最大數如果集合存在最小數,那麼由於有理數的稠密性可知存在有理數由於,則,由於,與是的最小數矛盾同理可以證明第二種情況(其實我就是懶得寫了)下面證明第三種情況:那麼切割將定義一個無理數,且對於任意,,則對於有兩種情況:1
用區間套定理(康託的第一份實數不可數的證明):ZS Chen:實數集不可數的非對角線證明(Cantor‘s first uncountability proof)用Baire綱定理:ZS Chen:實數集不可數的拓撲證明, 即Baire綱定
將負值x代入拋物線,會發現y不是實數,所以負值x是增根兩條二次曲線最多4個交點(兩個二元二次方程從代數上說就是4組解,包括虛數),你覺得拋物線的x都是正,那是因為你只看到了它們的兩組實數解,並且正因為xy都是實數,你才能在座標平面上看到
這樣我們得到對一切都有,這與實數的阿基米德性質矛盾(自然數在實數中是無界的),因此一定存在整數使得,令就有
第二個問題可以用實數和有理數集的勢來證偽 pi*a是可數的e*b也是可數的 pi*a+e*b也是可數的 而無理數是不可數的
所以無理數不存在有理數的上下確界
題源來自@ 歸農大師這個題目第二問可以用換元分參,也可以必要性探路,總體來說換元分參更好第一問我們這裡改為:若有兩個零點,求實數的取值範圍,並把它當作第二問
向量的這些法則對於複數都適用,即加法遵守平行四邊形法則和三角形法則,和為複數
所以有些數分教科書就不用戴德金分割來構造實數了,因為雖然Dedekind cuts 便於理解,和直覺有聯絡,也很易得出實數的連續性,但是想要證明構成一個 field 的話,就很麻煩
)以上就是用比例數構建實數的超簡略版,之後我們同樣需要驗證這樣構建的實數可以使用加減乘除運算律和序,那麼我們就可以證明實數和比例數至少“一樣好”了
趁著大家對於數學無限高漲的熱情,今天我們就來思維飛躍一下,科普兩個簡單的概念問題:1)0.9999......是否等於12)如果一件事發生的機率是0%,那麼它是不是不可能事件呢
L空間裡的A=R跟Q空間裡的B=R使用反外延公理得到A跟B的交集為空集,其實你會發現對於多元宇宙,兩個實數的點座標之間的距離可以不是實數,存在很多的數在實數里你是永遠找不到它們的,為了跟非標準分析的超實數區分開來,可以暫時把處在多元宇宙裡的