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【8月30日】一道零點和恆成立問題

作者：由高考數學呆哥發表于書法時間：2020-08-31

題源來自@ 歸農大師

這個題目第二問可以用換元分參，也可以必要性探路，總體來說換元分參更好

第一問我們這裡改為：若

$f(x)$

有兩個零點，求實數

的取值範圍，並把它當作第二問。

第一問就由原來的第二問來替代，下面進行解答。

解：第一問如下

由於

$f(\ln 2) = 4(m + 3) - 28 \ge 0$

，所以

$m \ge 4$

若

$m < 4$

，則

$f(\ln 2) = 4(m + 3) - 28 < 0$

，不成立。

所以第一問實數

的取值範圍是：

$m \ge 4$

第二問如下：

建構函式

$f(x) = \frac{{4{x^3} + 12x - {x^4} - 12}}{{{x^2}}}$

，求導得：

$\[f$

所以

先增後減，則

$m + 3 < f(2) = 7$

時有兩個零點（必要條件），即

$m < 4$

下證

$m < 4$

時，

$g(x) = {x^4} - 4{x^3} + (m + 3){x^2} - 12x + 12 = 0$

有兩個零點。

取

$x = 2$

，則

$g(2) = 4(m + 3) - 28 < 0$

取

，則

$g(0) = 12 > 0$

取

$x = 2 + \sqrt {13 - m}$

，則

$g(2 + \sqrt {13 - m} ) >$

${(2 + \sqrt {13 - m} )^2}\left[ {{{(2 + \sqrt {13 - m} )}^2} - 4(2 + \sqrt {13 - m} ) + m - 9} \right] = 0$

因此

在

上和

$(2,2 + \sqrt {13 - m} )$

上各有一個零點，故答案為

$m < 4$

本專欄以後還會持續更新，若是有什麼比較有趣的題目，可以告訴呆哥，儘可能幫大家解答~

另外，方法來源已經整理成書籍《高考導數解題研究》，書中有更多有趣的內容，歡迎各位有興趣的童鞋或者老師瞭解~

標簽：零點第二第一取值實數

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