這個筆記由預備知識、Cauchy積分定理、函式的級數表示、留數積分、共形對映五部分組成
座標變換為:Jacobian(之積)是因而Ward恆等式給出展開得到與標度變換的方程聯立,得到代入給出解得總結一下,上的兩點函式形如全域性共形對稱性沒有完全確定住它的形式,這同複平面上四點函式的情形一樣
二、黑洞熱力學的一些結論根據眾所周知的有關配分函式的論斷,一個量子系統的時間可以對應一個統計系統的溫度倒數,這裡用這個論斷不嚴格地來推導Hawking溫度:維AdS時空中場方程的球對稱解有如下形式:其中,的零點給出視界,我們取外部視界,於是
定理(共形對映的邊界表現):對於單位開圓盤 #FormatImgID_102# ,與非空有界單連通開區域 #FormatImgID_103# ,若 #FormatImgID_104# 為Jordan區域,則任意共形對映 #FormatImg
透過共形變換,將映到複平面上,得到的初級場記作,它與的關係是由得到那麼的“Hermite”共軛是另一方面,時間反演成後,就會變成,因此時間反演後成為於是有同時,初級場在變換下成為與比對得到因為能動張量的共形權是,給出代入的Laurent展開
在三維或者更高維的情況下,共形群 (SO(d,2),d>2) 是有限維的,共形變化包括:Lorentz 變換平移Scaling(中文是標度變換
我們知道它的無窮小形式之後,可以求出操作的算符表示,也就是平移就是, 洛倫茲就是,尺度變換是等等,這些算符表示作用到標量函式f上,就能夠看出它們之間的對易關係了
但是Liouville定理告訴我們, 三維以上的歐氏空間中的保角變換(共形對映)一定只能是下列的基本變換的複合: 等距, 位似, 和關於一個球面的反演變換, 例如關於球心在原點的單位球面的反演變換
Lagrangian的變化,要從是標量,以及場的變化會引起它變化,這兩方面來考慮,結果是用,這可改寫成此外,維體積元變為:這裡,Jacobian是這兩方面放在一起,得到作用量變化了用Euler-Lagrange方程,作用量的變化可改寫成全微
模空間的體積由基本區域中的積分給出:記,並定義,得到參考^在RNS形式下超弦的情形,也就是下一章將討論的,作用量還具有區域性的世介面超對稱和超Weyl對稱,因此也要考慮模去這些
彭羅斯認為宇宙的終結就是另一次大爆炸的開始,宇宙就是在大爆炸-膨脹-大爆炸-膨脹中無限迴圈
最近彭羅斯和牛津大學、華沙大學及紐約海事學院的研究團隊再次對迴圈宇宙學進行了研究,並聲稱在宇宙微波背景中發現了大約20個霍金點(Hawking Points),可能是上個宇宙的黑洞最後爆炸死亡時留下的印記