AdSCFT對偶在凝聚態物理中的應用入門：一個玩具模型

作者：由賽博學園神社巫女發表于繪畫時間：2019-06-01

本文是PRL。 101， 031601的閱讀筆記。這篇文章分析了一個全息s波超導體的模型。

近十年來，在解量子色動力學，凝聚態物理和流體力學等強耦合系統問題中的應用是AdS/CFT對偶的一個主流研究方向。去年的Dirac獎獲得者Subir Sachdev和Đàm Thanh Sơn就有做相關的工作，不過這一方向也遭到了不少批評，例如Philip W。 Anderson專門寫了PhysicsToday。 66， 4， 9來反對PhysicsToday。 65， 6， 68：

凝聚態理論中的AdS/CFT對偶手法有一個非常普遍的問題，我們可以指向那三個告密的英文字母“CFT”——共形場論。凝聚態問題一般來說既不是相對論性，也不是共形的。在臨近量子臨界點時，時間和空間可能會有縮放，但即使如此我們還是有更熟悉的座標系，一般是晶格。有證據顯示奇異金屬左側存在其他線性

相，與他們的推測可能相符，但在這種情況下，凝聚態問題還是由實驗事實所超定的。

我也對這些工作的價值感到懷疑，不過相信在科學史上，即使是錯誤也能帶給人反思和啟發。

有關AdS/CFT對偶和凝聚態物理結合的工作，現在還有孔令欣（arxiv：1703。05445），尤亦莊（arxiv：1903。00804），祁曉亮（arxiv：1709。01223）等人，嘗試用張量網路或機器學習的方法理解全息對偶是如何演生出來的。

為了理解這篇文章的想法，我花時間瞭解了一下AdS/CFT對偶的基本內容。不過我不懂弦論，可能有些誤解，歡迎指正。

一、AdS/CFT對偶的基本內容

在大

極限下，AdS/CFT對偶描述的是一個經典廣義相對論和一個共形場論的對偶。

AdS/CFT對偶可以簡單地理解為（arxiv：0909。0518）：

$\mathrm{GR}=\mathrm{RG}$

GR是指廣義相對論，而RG是指重整化群。

在共形場論中，系統具有標度不變性。這意味著，作變換

$x^{\mu} \rightarrow \lambda x^{\mu}$

，若系統不變，能標（高於此能量的場被積分掉）將經歷變換

$r \rightarrow r / \lambda$

。將

作為一個新的徑向座標，我們能寫出的滿足上述條件的最一般的時空度規具有如下形式：

$d s^{2}=\left(\frac{L}{z}\right)^{2}\left(\eta_{\mu \nu} d x^{\mu} d x^{\nu}+d z^{2}\right)$

這裡作了換元

。

引自（arxiv：0909。0518）

實際上，這個度規描述的正是反de Sitter（AdS）時空，

被稱為AdS半徑。對應一個

維AdS時空的最簡單的作用量就是在Einstein-Hilbert作用量中加上負的宇宙學常數項：

$S=\frac{1}{16 \pi G} \int d^{d+2} x \sqrt{-g}[R-2 \Lambda+\cdots]$

其中

$-2\Lambda=d(d+1)/L^2$

。現在我們得到了一個與其邊界上的共形場論對偶的一個體上的AdS時空，這就像是全息圖一樣，因此常被稱為“全息對偶”。

在1998年，Witten和Gubser， Klebanov， Polyakov各自獨立地匯出了將體和邊界上的物理量對應起來的規則，稱為GKPW規則，它最基本的論斷是配分函式的相等：

$Z_{\mathrm{CFT}}(N)=\int \mathcal{D} \phi e^{i N^{2} S_{\mathrm{AdS}}(\phi)}$

很重要的一點是，AdS/CFT對偶可以將一個強耦合場對映到一個弱耦合的廣義相對論，藉此我們可以用微擾論來處理強關聯多體問題。

在AdS時空中，

$r\to \infty$

也就對應著它的邊界，因此邊界上的共形場和AdS時空中的場在這裡要取一致的值。換句話說，共形場的紫外端對應AdS時空的邊界。

我們在AdS時空中寫出一個標量場的作用量，並將體和邊界的貢獻分開：

$\begin{aligned} S &=\int_{\mathrm{AdS}} d r d^{d+1} x \sqrt{-g}\left[-\frac{1}{2} g^{\mu v} \partial_{\mu} \phi \partial_{\nu} \phi-\frac{1}{2} m^{2} \phi^{2}\right] \\ &=\int_{\mathrm{AdS}} d r d^{d+1} x \sqrt{-g} \frac{1}{2} \phi\left(\square-m^{2}\right) \phi-\frac{1}{2} \oint_{\partial \mathrm{AdS}} d^{d+1} x \sqrt{-h} \phi \partial_{n} \phi \end{aligned}$

這裡

是邊界上的度規。

如果解出運動方程並代回作用量，體的貢獻就消失了。進行Fourier變換，我們會得到場在邊界上的漸近行為：

$\phi(\omega, \mathbf{k}, r)=A(\omega, \mathbf{k})\left(\frac{r}{L}\right)^{-(d+1-\Delta)}+B(\omega, \mathbf{k})\left(\frac{r}{L}\right)^{-\Delta}+\cdots$

其中，

$\Delta=\frac{d+1}{2}+\sqrt{\frac{(d+1)^{2}}{4}+m^{2} L^{2}}$

。

若指數是復的，我們得到一個振盪的場，這將會導致時空的不穩定。因此根號內的表示式需要非負，我們有被稱為Breitenlohner-Freedman界的不等式：

$m^{2} L^{2} \geq-\frac{(d+1)^{2}}{4}$

不過

$d+1-\Delta$

可能是負的，會導致紫外發散問題。GKPW規則提出，我們應當在距離邊界一個無窮小距離

$r=\epsilon^{-1}$

處進行計算，然後取

$\epsilon \to 0$

時的極限。這樣操作以後，邊界上的作用量改寫為

$S=\frac{1}{2 L} \oint_{r=\epsilon^{-1}} \frac{d \omega d^{d} \mathbf{k}}{(2 \pi)^{d+1}}\left(\frac{r}{L}\right)^{d+1} \times\left((2 \Delta-d-1) A B\left(\frac{r}{L}\right)^{-(d+1)}+\cdots\right)$

我們考慮共形場上的線性響應：當給系統加微擾，用一個外場（源）

耦合上一個局域算符（響應）

$\mathcal{O}(x)$

時，有作用量：

$S=-i \int d^{d+1} x J \mathcal{O}$

因為場取值一致，

應當對應

；而作用量也要一致，於是有對應

$\langle\mathcal{O}(\omega, \mathbf{k})\rangle_{J}=\frac{2 \Delta-d-1}{2 L} B(\omega, \mathbf{k})$

外場會破缺共形場的對稱性，於是根據自發對稱性破缺理論，當

時一個非零的

$\langle \mathcal{O} \rangle$

，也就是真空期望值，將會標誌一個二級相變。

從Einstein方程中，我們可以猜出，共形場上的能量動量張量應當和AdS時空的度規對偶（有關的嚴格證明可以參見Deser， Boulware， 1974）。而能動張量是時空平移對稱性的Noether守恆流，度規又是局域規範場，因此共形場上的全域性對稱性和AdS時空中的局域規範對稱性對偶。

二、黑洞熱力學的一些結論

根據眾所周知的有關配分函式的論斷，一個量子系統的時間可以對應一個統計系統的溫度倒數，這裡用這個論斷不嚴格地來推導Hawking溫度：

維AdS時空中場方程的球對稱解有如下形式：

$d s^{2}=\frac{r^{2}}{L^{2}}\left(-f(r) d t^{2}+d \Sigma_{k}^{2}\right)+\frac{L^{2}}{r^{2} f(r)} d r^{2}, \quad i=1, \ldots, d$

其中

$f(r)=1-\frac{m}{r^{d+1}}+\frac{k L^{2}}{r^{2}}$

，

$d \Sigma_{k}^{2}=\left\{\begin{array}{ll}{L^{2} d \Omega_{d}^{2},} & { k=1} \\ {\sum_{i=1}^{d} d x_{i}^{2},} & { k=0} \\ {L^{2} d H_{d}^{2},} & { k=-1 }\end{array}\right.$

的零點給出視界，我們取外部視界

，於是

$m=r_{0}^{d+1}+k L^{2} r_{0}^{d-1}$

考慮一個一般的黑洞附近的靜態度規並作Wick轉動：

$d s_{\mathrm{E}}^{2}=g_{t t}(r) d \tau^{2}+\frac{d r^{2}}{g^{r r}(r)}+g_{x x}(r) d \vec{x}^{2}$

其中

$g_{tt}(r)$

，

$g^{rr}(r)$

各有一零點在視界處。

我們對度規作級數展開，得到近視界度規：

$d s_{\mathrm{E}}^{2}=\frac{1}{4} R_{0}^{2} g_{t t}^{\prime}\left(r_{0}\right) g^{r r^{\prime}}\left(r_{0}\right) d \tau^{2}+d R_{0}^{2}+g_{x x}\left(r_{0}\right) d \vec{x}^{2}+\cdots$

這裡作了換元

$R_{0}=2 \sqrt{r-r_{0}} / \sqrt{g^{r r \prime}\left(r_{0}\right)}$

。

現在，若將

看作徑向座標，

$\tau$

看作角向座標，這個度規描述一個Euclid空間中的極座標系統，因此

$\tau$

有周期

$4\pi / \sqrt{g_{t t}^{\prime}\left(r_{0}\right) g^{r r \prime}\left(r_{0}\right)}$

。

我們得到溫度：

$\begin{aligned} T &=\left.\frac{\sqrt{g_{t t}^{\prime} g^{r r^{\prime}}}}{4 \pi}\right|_{r=r_{0}}=\frac{r_{0}^{2}}{4 \pi L^{2}}\left.\frac{d f(r)}{d r}\right|_{r=r_{0}} \\ &=\frac{1}{4 \pi L^{2}}\left((d+1) r_{0}+\frac{k L^{2}(d-1)}{r_{0}}\right) \end{aligned}$

這裡只考慮

，這種情況下

$d s^{2}=\frac{r^{2}}{L^{2}}\left(-f(r) d t^{2}+d x_{i}^{2}\right)+\frac{L^{2}}{r^{2} f(r)} d r^{2}, \quad i=1, \ldots, d$

其中，

$f(r)=1-\frac{r_{0}^{d+1}}{r^{d+1}}$

，Hawking溫度為

$T=\frac{(d+1) r_{0}}{4 \pi L^{2}}$

。

原則上，從配分函式可以計算出自由能，熵，內能，此處不再贅述。AdS黑洞的這些物理量直接對應共形場上系統的物理量。

我們要在共形場上建立一個超導體系統，它有全域性

對稱性並由一個標量場描述，為此需要在AdS時空中引入Maxwell場和一個帶電標量場。

下面考慮引入Maxwell場的最簡單情形：Reissner-Nordström黑洞。

維AdS時空中，它對應作用量：

$S_{\mathrm{EM}}=\int d^{d+2} x \sqrt{-g}\left[\frac{1}{16 \pi G}\left(R+\frac{d(d+1)}{L^{2}}\right)-\frac{1}{4 g_{\mathrm{F}}^{2}} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}\right]$

運動方程的解是

$d s^{2}=\frac{r^{2}}{L^{2}}\left(-f d t^{2}+d \mathbf{x}^{2}\right)+\frac{L^{2}}{r^{2}} \frac{d r^{2}}{f}$

$f(r)=1+\frac{Q^{2}}{r^{2 d}}-\frac{M}{r^{d+1}}, A_{t}=\mu\left(1-\frac{r_{0}^{d-1}}{r^{d-1}}\right)$

其中，

$\mu=\frac{g_{\mathrm{F}} Q}{2 c_{d} \sqrt{\pi G} L^{2} r_{0}^{d-1}}, c_{d}=\sqrt{\frac{2(d-1)}{d}}$

，

是外部視界。

可以計算出Hawking溫度：

$T=\frac{(d+1) r_{0}}{4 \pi L^{2}}\left(1-\frac{(d-1) Q^{2}}{(d+1) r_{0}^{2 d}}\right)$

外部視界，質量和電荷有關係

$M=r_{0}^{d+1}+\frac{Q^{2}}{r_{0}^{d-1}}$

這裡總能量不小於Maxwell場的能量，據此可以得到

$M \geq \frac{4(d+1)^{(d+1) /(2 d)}}{c_{d}^{2}(d-1)^{(d+1) /(2 d)}} Q^{(d+1) / d}$

等式成立時，我們稱黑洞是extremal的，代入等式會發現此時溫度是零，並且還有一個以下式為視界的解：

$r_{*}=\left(\frac{d-1}{d+1}\right)^{1 /(2 d)} Q^{1 / d}$

由於黑洞熵與表面積成正比，這意味著零溫下黑洞有非零熵，暗示共形場上會有高基態簡併。

之前我們看到

$df(r)/dr \propto T$

，下面對extremal的黑洞，在視界

處展開

：

$f(r) =d(d+1) \frac{\left(r-r_{*}\right)^{2}}{r_{*}^{2}}+\cdots \cdot$

代入度規得到

$d s^{2}=\frac{L_{2}^{2}}{\zeta^{2}}\left(-d t^{2}+d \zeta^{2}\right)+\frac{r_{*}^{2}}{L^{2}} d \mathbf{x}^{2}$

其中，

$\zeta=\frac{L_{2}^{2}}{r-r_{*}}, L_{2}=\frac{L}{\sqrt{d(d+1)}}$

，此時時空近似是

$\text{AdS}_2 \times \mathbb{R}^d$

。

三、一個全息s波超導體模型

我們知道二級相變附近的系統滿足標度不變，雖然這並不意味著一定有共形不變，但是這裡就當作是共形不變了。

我們知道超流和超導都起源於

的對稱破缺，只是它們的耦合強度不同，原則上體上超導對應的是邊界上的超流，但既然我們可以調整耦合係數，還是用體上超導描述邊界上的超導。

接下來就討論這篇PRL裡的模型。就像上面說的，我們應該在體上耦合上Maxwell場和帶電標量場，寫出作用量：

$S=\int d^{d+2} x \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{16 \pi G}\left(R+\frac{d(d+1)}{L^{2}}\right)-\frac{1}{4 g_{\mathrm{F}}^{2}}F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} -\left|\partial_{\mu} \Phi-i q A_{\mu} \Phi\right|^{2}-m^2|\Phi|^2 \right]$

這裡

。

在一般的Einstein-Maxwell背景下，可以得到標量場的漲落：

$\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu}\left[\sqrt{-g}\left(g^{\mu \nu} \partial_{\nu} \phi-i q A_{v} g^{\mu \nu} \phi\right)\right]-i q \frac{1}{\sqrt{-g}} g^{\mu \nu} A_{v} \partial_{\mu}(\sqrt{-g} \phi) -m^{2} \phi-g^{\mu v} q^{2} A_{\mu} A_{\nu} \phi=0$

如果只存在靜電勢，最後兩項就是

$-m^{2} \phi+\left|g^{t t}\right| q^{2} A_{t} A_{t} \phi$

我們可以將它們一起看作一個有效質量。

根據之前RN黑洞的討論，在紫外端，時空是

$\text{AdS}_4$

，

$g^{t t} A_{t} A_{t} \sim \mu^{2} / r^{2}$

，可以忽略，我們有BF界：

$(m L)^{2} \geq-\frac{(d+1)^{2}}{4}=-\frac{9}{4}$

然而在紅外端（extremal的黑洞近視界處），時空近似是

$\text{AdS}_2 \times \mathbb{R}^2$

，

$g^{t t} A_{t} A_{t}$

是常數，同時注意到此時AdS半徑為

$L_2=L/\sqrt{d(d+1)}=L/\sqrt{6}$

，我們得到另一個BF界：

$(m L)^{2}-\frac{q^{2} g_{\mathrm{F}}^{2} L^{2}}{8 \pi G} \geq-\frac{3}{2}=-\frac{(0+1)^2}{4}\cdot 6$

因此就存在一個區間，

$-\frac{(d+1)^{2}}{4} \leq(m L)^{2} \leq-\frac{3}{2}+\frac{q^{2} g_{\mathrm{F}}^{2} L^{2}}{8 \pi G}$

在這裡標量場在紫外端穩定而紅外端不穩定，我們將會看到這暗示共形場上零溫下的一個相變。

計算得到運動方程：

$\begin{aligned} &R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R-\frac{3}{L^{2}} g_{\mu \nu}=\kappa^2(T_{\mu \nu}^{\text { Maxwell }}+T_{\mu \nu}^{\text { Scalar }}) \\ &\left(\nabla^{v}-i q A^{v}\right)\left(\nabla_{v}-i q A_{\nu}\right) \Phi-m^{2} \Phi=0\\ &\nabla_{\mu} F^{\mu \nu}=i q g_{\mathrm{F}}^{2}\left[\Phi^{*}\left(\partial^{v}-i q A^{\nu}\right) \Phi-\Phi\left(\partial^{\nu}+i q A^{\nu}\right) \Phi^{*}\right]\end{aligned}$

其中，

$T_{\mu \nu}^{\text {Maxwell }}=\frac{1}{g_{\mathrm{F}}^{2}}\left(F_{\mu \rho} F_{v}^{\rho}-\frac{1}{4} F^{2} g_{\mu \nu}\right)$

$T_{\mu \nu}^{\text {Scalar}}=\left[ \left(\partial_{\mu}+i q A_{\mu}\right) \Phi^{*}\left(\partial_{v}-i q A_{v}\right) \Phi+\left(\partial_{\mu}-i q A_{\mu}\right) \Phi\left(\partial_{\nu}+i q A_{\nu}\right) \Phi^{*} -g_{\mu \nu}\left(\left|\left(\partial_{\alpha}-i q A_{\alpha}\right) \Phi\right|^{2}+m^{2}|\Phi|^{2}\right) \right]$

我們考慮Maxwell和標量場不會給度規反作用的極限，那麼度規就是普通的AdS-Schwarzschild度規：

$\begin{aligned} d s^{2} &=\frac{r^{2}}{L^{2}}\left(-f(r) d t^{2}+d x^{2}+d y^{2}\right)+\frac{d r^{2}}{f(r) r^{2}} \\ f(r) &=1-\frac{M}{r^{3}} \end{aligned}$

對應的Hawking溫度是

$T=3 M^{1 / 3} / 4 \pi L^{4 / 3}$

。設

。假設只存在靜電勢，並且考慮到我們想描述s波超導體，選擇球對稱的試探解：

$A_t=h(r), A_i=0, \Phi=\phi(r)$

從運動方程的徑向分量上，我們可以看出

$\Phi$

相位恆定，這裡選取實的

$\phi$

。

代入運動方程，得到

$\begin{aligned}&\phi^{\prime \prime}+\left(\frac{f^{\prime}}{f}+\frac{4}{r}\right) \phi^{\prime}+\frac{h^{2}}{r^{4} f^{2}} \phi-\frac{m^{2}}{r^{2} f} \phi=0 \\ &h^{\prime \prime}+\frac{2}{r} h^{\prime}-\frac{2 \phi^{2}}{f r^{2}} h=0\end{aligned}$

在邊界處

$\begin{aligned} h(r) &=\mu-\frac{\rho}{r}+\cdots \\ \phi(r) &=J_{\mathcal{O}} r^{\Delta-3}+\langle\mathcal{O}\rangle r^{-\Delta} +\cdots \end{aligned}$

我們尋找

$J_{\mathcal{O}}=0$

而

$\langle\mathcal{O}\rangle \neq 0$

的解，並取

，於是

$\Delta=2$

。

時，數值解結果是

$\left\langle O\right\rangle \approx 144 T_{c}^{2}\left(1-T / T_{c}\right)^{1 / 2}, \quad \text {當} \quad T \rightarrow T_{c}$

其中，

$T_c\approx 0.226\rho^{1/2}$

。

這個曲線定性上和BCS的結果很像：

也可以計算自由能，可以看到它是連續的，所以這裡是二級相變：

然後我們計算電導。在Maxwell場的

分量上加微擾

$\delta A_{x}=\delta A_{x}(r) e^{i \omega t}$

代入運動方程：

$A_{x}^{\prime \prime}+\frac{f^{\prime}}{f} A_{x}^{\prime}+\left(\frac{\omega^{2}}{f^{2}}-2 \frac{h^{2}}{f^{2}}\right) A_{x}=0$

同時在邊界處

$A_{x}=A_{x}^{(0)}+\frac{A_{x}^{(1)}}{r}+\cdots$

於是電導是

$\sigma(\omega)=\frac{\langle J_x \rangle}{E_x}=-\frac{\langle J_x \rangle}{\dot{A_x}}=-\frac{i\langle J_x \rangle}{\omega A_x}=-\frac{iA_{x}^{(1)}}{\omega A_{x}^{(0)}}$

對應不同溫度作出電導-頻率的曲線。圖中最右對應

。

可以看到電導尖峰，但存在一個臨界頻率

$\omega_g$

，在此之後超導性消失，那麼

$\hbar \omega_g$

就應該是拆開一個Cooper對所需能量。這裡有

$\frac{\hbar \omega_{g}}{k_{B} T_{c}} \simeq 8.4$

而BCS的結果是3。52，因此這個模型描述的是一個強關聯絡統，並且銅基高溫超導實驗也得到相似的結果。

這裡超導的機制還完全是Cooper對嗎？我們的唯象模型不能回答這個問題，需要從弦論開始構造。（Ammon， 2009）構造了一個模型，其中序參量可看作是Fermi子對

$\mathcal{O}=\operatorname{Tr}[\psi \psi]+\cdots$

這裡跡是對所有的色自由度求和。

省略號是說，這裡還需要加上多點關聯函式，但是它們必須有和最低階對相同的對稱性，也許這就是強關聯絡統中考慮Cooper對正確的想法。

四、相關實驗

剪下粘度和熵的體積密度之比往往被用來描述一種流體和零粘度理想流體的差異，（Kovtun， Son， Starinets， PRL， 2005）用AdS/CFT對偶的方法推匯出了這個引數的下界：

$\frac{\eta}{s}\geq \frac{\hbar}{4\pi k_B}\sim 0.08 \frac{\hbar}{k_B}$

兩種最佳的有望成為最接近理想的流體，是超冷

${}^6\text{Li}$

-Fermi氣和重離子對撞實驗得到的夸克膠子等離子體，然而人們從未觀測到它們到達這個下界，也許這個下界是正確的吧。

引自（Turlapov， 2008）

主要參考文獻

［1］ Altland and Simons， 2010， Condensed matter field theory。 Cambridge University Press。

［2］ Becker， Becker and Schwarz， 2006， String theory and M-theory： a modern introduction。 Cambridge University Press。

［3］ Francesco， Mathieu and Sénéchal， 1997， Conformal field theory。 Springer-Verlag New York。

［4］ Hartnoll， Herzog and Horowitz， 2008， Building a holographic superconductor。 PRL。 101， 031601。

［5］劉遼，趙崢，田貴花和張靖儀， 2008，黑洞與時間的性質。北京大學出版社。

［6］ McGreevy， 2010， Holographic duality with a view toward many-body physics。 arxiv：0909。0518。

［7］ Năstase， 2017， String theory methods for condensed matter physics。 Cambridge University Press。

［8］ Schäfer， 2009， Nearly perfect fluidity。 Physics Today。 2， 88。

［9］ Zaanen， Sun， Liu and Schalm， 2015， Holographic duality in condensed matter physics。 Cambridge University Press。

標簽： ads 共形對偶 CFT 度規

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