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【解題研究】再論拋物線上的"兩點"

作者：由閒敲棋子落燈hua 發表于體育時間：2022-02-20

繼

閒敲棋子落燈hua：【解題研究】論拋物線上的“兩點”

如何記憶：

1。斜率

斜率

$y = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$

核心:誰次數高誰就主體,位置倒換

如

${x^2} = 2py$

次數高

為主體

用

而

$y = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$

中

原本在下故調換位置，讓其在上即

$\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2p}}$

同理

${y^2} = 2px \to \frac{{2p}}{{{y_1} + {y_2}}}$

2。兩點式直線：

拿

${y^2} = 2px$

本質是

$\left( {y - {y_1}} \right)\left( {y - {y_2}} \right) = 0$

展開有

${y^2} - \left( {{y_1} + {y_2}} \right)y + {y_1}{y_2} = 0$

注意用

${y^2} = 2px$

即得兩點式:

$2px - \left( {{y_1} + {y_2}} \right)y + {y_1}{y_2} = 0$

若直線過定點

$\left( {t,0} \right)$

直接代入即可有

$2pt = {y_1}{y_2}$

一道需要兩點式簡化運算及巧妙用因式進行消元的題（挺有味的）：

已知拋物線

${y^2} = 4x$

，

，

為

軸上動點，過

作直線交拋物線於

連線

分別交拋物線於

若

$\frac{{{S_{\Delta CDP}}}}{{{S_{\Delta ABP}}}} = 3$

求

$\left| {\frac{{OP}}{{OE}}} \right|$

可背住若兩點的直線過定點 #FormatImgID_28# 則有 #FormatImgID_29#

設

$A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right),C\left( {{x_3},{y_3}} \right),D\left( {{x_4},{y_4}} \right)$

$E\left( {e,0} \right),P\left( {m,0} \right)$

由

$\frac{{{S_{\Delta CDP}}}}{{{S_{\Delta ABP}}}} = 3 \to \frac{{\left| {PD} \right|}}{{\left| {PB} \right|}} = \frac{{3\left| {AP} \right|}}{{\left| {PC} \right|}} \to - \frac{{{y_4}}}{{{y_2}}} = - \frac{{3{y_1}}}{{{y_3}}} \to {y_3}{y_4} = 3{y_1}{y_2}$

再

由結論

有

$\left\{ \begin{array}{l} {y_1}{y_3} = - 4m\\ {y_2}{y_4} = - 4m\\ {y_1}{y_2} = - 4e \end{array} \right.$

代入即可解得

$\frac{{\left| {OP} \right|}}{{\left| {OE} \right|}} = \frac{m}{e} = \sqrt 3$

一些有運用到這種思想的題：

1。

標簽：兩點拋物線直線 FormatImgID 代入

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