高中數學——空間中的平行關係

一、複習目標要求

1．平面的基本性質與推論

藉助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關係的基礎上，抽象出空間線、面位置關係的定義，並瞭解如下可以作為推理依據的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那麼這條直線在此平面內；

◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線；

◆公理4：平行於同一條直線的兩條直線平行；

◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補。

2．空間中的平行關係

以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，透過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。透過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：

◆平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；

◆一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；

透過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，並加以證明：

◆一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面交線與該直線平行；

◆兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行；

◆垂直於同一個平面的兩條直線平行

能運用已獲得的結論證明一些空間位置關係的簡單命題。

二、要點精講

1．平面概述

（1）平面的兩個特徵：①無限延展 ②平的（沒有厚度）

（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面

（3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母

、

、

等表示，如平面

、平面

；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC。

2．三公理三推論：

公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上所有的點都在這個平面內：

A

，B

，A

，B

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。

公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。

推論一：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論二：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論三：經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3．空間直線：

（1）空間兩條直線的位置關係：

相交直線——有且僅有一個公共點；

平行直線——在同一平面內，沒有公共點；

異面直線——不同在任何一個平面內，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。

異面直線的畫法常用的有下列三種：

（2）平行直線：

在平面幾何中，平行於同一條直線的兩條直線互相平行，這個結論在空間也是成立的。即公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

（3）異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線。推理模式：

與

a

是異面直線。

4．直線和平面的位置關係

（1）直線在平面內（無數個公共點）；

（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；

（3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類。

它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為

，

，

。

線面平行的判定定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。推理模式：

．

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。推理模式：

．

5．兩個平面的位置關係有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）

（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行於一個平面，那麼這兩個平面平行。

定理的模式：

推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行於另一個平面內的兩條相交直線，那麼這兩個平面互相平行。

推論模式：

（2）兩個平面平行的性質（1）如果兩個平面平行，那麼其中一個平面內的直線平行於另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。