關於某道有趣的圓錐曲線題

如圖，這是我感到無聊時用於打發時間的一道數學題，雖然我的數學並不是很好，數學也總是將我降維打擊，但是我還是對它蠻感興趣的。這是一道經典的圓錐曲線問題——非對稱的韋達定理。

標準答案如下，拋開橢圓方程不談，下面的方法應該是最經典的一種方法吧。

在聯立方程之前，我一般會先思考它要求的東西是什麼，把斜率的商到底有什麼意義呢，這直接關係到要設什麼樣的直線方程，換個角度思考，斜率之商完全可以轉化成斜率之積的形式，只需要根據橢圓定義，將所求化為AB和AC的乘積為定值即可，而對於這道題，設直線時可以有兩種選擇DB或DC，由此看來，無論後面如何處理，DC或許都是更好的選擇。由於直線過x軸上定點，所以設成x關於y的形式更為簡便，與此同時也囊括了斜率為0的情況。後面就是聯立帶入偉達，由於本題非對稱的情況，所以一般消去一個根是很常見的解法。正如答案所言。而除此之外，又不乏有其他的解法。

對於這麼一個一個不對稱且分母和分子都非齊次的式子：

k1/k2=my1y2-3y2/my1y2-y1

我們除了可以透過除去一個變數從而解決不對稱的問題，還可以換一個角度，透過兩邊平方解決非齊次的問題。至於最後解的正負，透過題意也可以知道是同號的。這也不乏是一種有趣的方法。至於計算過程，限於篇幅，就不贅述了。

除了非對稱韋達的思想外，透過之前的思考，也可以變成斜率乘積為定值的一種問題，除了韋達爆算以外，基於平移變換的齊次化構造，也不乏是一種解題的手段，它看似高深，只不過是一種另類的聯立方式罷了。比如對於AC和AD，分別設出DC方程，D、C座標，並把斜率透過座標表示後發現分母上都是x+2這種形式，所以只需要將直線方程和橢圓方程都該寫成y關於x+2的方程，聯立並都把所有項變成關於二者的二次項，同時再左右除去（x+2）^2，便可以得到AC和AD斜率k的二次方程，再用韋達定理求出二者斜率之積為-4 再得到答案。計算過程就不贅述了。

關於這樣的問題，其實還可以採用二次曲線系的方法來解決，即分別設出AB∩CD和AD∩CB的點的軌跡並表示橢圓，再對比各項係數，就可以得到比值。

再者，從伸縮變換的角度想，這就是二次曲線情形下的蝴蝶定理，但是在本題的圖形下並不好證明，或許可以藉助座標系旋轉來實現，對此不再贅述。

仔細想想，這真是一道有趣的題目。