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第一篇：從尤拉積分開始——舞臺的搭建

作者：由 Ramanujan 發表于 詩詞時間：2021-05-13

這個是本專欄的第一篇文章，為什麼選擇從哥德巴赫猜想開始喃，大概就是想透過把這個專欄寫好，透過這個問題——哥德巴赫猜想和黎曼猜想——把整個解析數論的發展過程都整理一遍，可能更新週期有點長，估計要好幾年，哈哈……所以（如果有人看的話），大家不要著急啊。

我們先從推廣階乘開始，引入兩類尤拉積分：

第一類尤拉積分：定義積分：

\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-t}dt

，其中 引數

\alpha\in\textbf{R}^+

。

第二類尤拉積分：定義積分：

\textbf{B}(\alpha,\beta)=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt

，其中引數

\alpha，\beta\in\textbf{R}^+

為什麼從這個函式開始？因為這個函式將和黎曼

\zeta(s)

函式有很大的關聯。

我們先來梳理一下這兩個尤拉積分的關係和性質：

性質1: #FormatImgID_6#

性質2:（1） #FormatImgID_7# , （2） #FormatImgID_8#

性質3: #FormatImgID_9#

性質4:Gamma函式的倍元公式： #FormatImgID_10#

性質5:（Euler-Guass公式)

\frac{1}{\Gamma(s)}=\lim_{N\to\infty}\frac{s(s+1)(s+2)……(s+N-1)}{(N-1)!N^s}

性質6:（Euler公式）

\frac{1}{\Gamma(s)}=s\prod_{n=1}^{+\infty}\Big(1+\frac{s}{n}\Big)\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{-s}

性質7:餘元公式： #FormatImgID_13#

注意到性質6，和公式

\frac{\sin\pi s}{s}=\prod_{k=1}^{\infty}\Big(1-\frac{s^2}{k^2\pi^2}\Big)

性質8:（Weierstrass無窮乘積展開）：

\frac{1}{\Gamma(s)}=se^{\gamma s}\prod_{n=1}^{\infty}\Big(1+\frac{s}{n}\Big)e^{-\frac{s}{n}}

其中 #FormatImgID_16# 成為尤拉常數，（人們對於這個常數的瞭解少之又少，甚至連這個常數是有理數還是無理數都不知道）

性質9:（引入對數Gamma函式）： #FormatImgID_17#

對數Gamma函式顯然有性質：

（i）

\psi(x)-\psi(y)=\sum_{k=0}^{\infty}\Big(\frac{1}{y+k}-\frac{1}{x+k}\Big)=\int_0^1\frac{t^{y-1}-t^{x-1}}{1-t}dt

（ii）

\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s} \Leftrightarrow\ln\Gamma(s)+\ln\Gamma(1-s)=\ln\pi-\ln\sin\pi s

所以

\psi(s)-\psi(1-s)=\pi\cot\pi s

（iii）

\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\Leftrightarrow\ln\Gamma(s)=\ln s+\ln\Gamma(s) \Leftrightarrow\psi(s+1)=\frac{1}{s}+\psi(s)

（iii）

\psi(1)=-\gamma

，

\psi(\frac{1}{2})=-\gamma-2\ln2

標簽： FormatImgID  性質  積分  尤拉  函式 

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