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利用輪換對稱性巧算某些第一型曲線積分

作者：由巧克力罐頭發表于詩詞時間：2020-12-20

華東師範第四版數分教材下冊的

例

是這樣一個題：

計算 #FormatImgID_3# , 其中 #FormatImgID_4# 為球面 #FormatImgID_5# 被平面 #FormatImgID_6# 所截得的圓周.

觀察到

$\int_{L}^{}x^2\ d s=\int_{L}^{}y^2\ d s=\int_{L}^{}z^2\ d s$

，所以

$\int_{L}^{}x^2\ d s=\frac{1}{3}\int_{L}^{}(x^2+y^2+z^2)\ d s=\frac{1}{3}\int_{L}^{}a^2\ d s=\frac{2}{3}\pi a^3$

。

球面 x^2+y^2+z^2=a^2被平面 x+y+z=0 所截得的圓周

由這個題可以拓展一些類似的可以利用輪換對稱性來解決的小問題：

計算

$\int_{L}^{}x\ d s$

, 其中

為球面

被平面

所截得的圓周.

計算

$\int_{L}^{}xy\ d s$

, 其中

為球面

被平面

所截得的圓周.

計算

$\int_{L}^{}\sqrt{2y^2+z^2}\ d s$

, 其中

為球面

被平面

所截得的圓周.

$eg1:\int_{L}^{}x\ d s=\frac{1}{3}\int_{L}^{}(x+y+z)\ d s=0$

。

$eg2:\int_{L}^{}xy\ d s=\frac{1}{3}\int_{L}^{}(xy+yz+zx)\ ds=\frac{1}{3}\int_{L}^{}\frac{1}{2}[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]\ ds=-\frac{1}{6}\int_{L}^{}a^2\ d s=-\frac{1}{3}\pi a^3$

。

$eg3:\int_{L}^{}\sqrt{2y^2+z^2}\ d s=\int_{L}^{}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ d s=\int_{L}^{}\ ads=2\pi a^2$

。

標簽：所截圓周 FormatImgID 球面平面

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