光學系統像差雜談（9）：你說的這個反射望遠鏡，他有像差嗎

光焦度是什麼意思

在之前的文章《

光學系統像差雜談（7）：跌宕起伏的斑斕路

》中我們已經看到，折射望遠鏡有著天生的缺陷——色差。為了校正色差，無數優秀的大師費心勞力，操盡了心。當然了，我們偉大的千古奇才牛爵爺並不在其中，他另闢蹊徑，發明了反射式望遠鏡，不跟大家在一個牌桌上玩了。

我們這一篇，就來看看牛爵爺的新牌桌。我在以前的文章裡陸續說過，光學設計是一門權衡和妥協的藝術，在反射望遠鏡的發展歷史中可以很明確地看到這一點，所以這是一篇關於「選擇題」的文章（大霧）。

1。 球面還是拋物面？

牛頓反射鏡結構異常簡單——真正參與成像的只有一個反射凹面。讀者朋友們也許會問了，就這一個面，還有什麼好選的呢？還真有選的——這個單獨的凹面，應該用球面？還是拋物面？

乍一看似乎沒啥好猶豫，很多天文愛好者都會毫不遲疑給出答案：當然應該用拋物面呀；許多商家也把用不用拋物面作為入門級和專業級的區分門檻，似乎給人一種印象，真正的牛反就應該是拋物面的，用球面的那是湊合。可是真的是這麼理所當然嗎？

牛反的主鏡，用球面鏡還是拋物面鏡？

拋物面的情況我們已經很熟悉了。在以前的文章《

光學系統像差雜談（1）：費馬原理

》我們證明了，拋物面對於平行光入射的情況能完美地滿足等光程條件，因而可以對平行光完美成像。然而也在後面的《

光學系統像差雜談（2）：彗差與阿貝正弦條件

》看到，拋物面只有一條對稱軸，並且不滿足阿貝正弦條件，所以拋物面有很明顯的彗差。對於不沿著對稱軸入射的平行光線，無法完美成像。即使入射角度很小，成像質量也迅速降低。

那對於球面又如何呢？在之前的文章《

光學系統像差雜談（5）：球差與焦外

》我們瞭解到球面是有球差的，對於平行光無法完美地聚焦到一點，而是形成一個彌散的光斑。然而相對的，球面有一個無可比擬的優勢——它有無數的對稱軸。對於「單一的球面」來說，是不存在「軸外光線」的。在望遠鏡這個場景中，雖說不能對星點完美成像，但是整個視場內的成像質量是均勻的。

這麼看來，對於牛反應該用拋物面還是球面這個選擇題，似乎要結合視場角來看。小視場角的情況下彗差不顯著，那麼用拋物面能獲得更高的成像質量；而當視場角增大到一定程度，整個視場內成像質量的均一性更重要，這時候可能球面反而是更好的選擇。

且慢！我們忽略了一個重要的因素，口徑大小。在望遠鏡場合下，口徑是一個重要的指標。口徑影響進光量，影響解析度，也會影響望遠鏡的設計。

在前面的文章中我們看到，在小口徑情況下，球差是非常不顯著的，隨著口徑增加到一定程度，球差才變得明顯，進而急劇增加。按照賽德爾像差理論，球差是隨著口徑的 3 次方增加的，與視場角沒關係。

不同的口徑下，球面和拋物面的像差相對關係示意圖

對於小口徑的牛反，球面和拋物面差別不大，球面鏡的球差很小，而且沒有軸外像差（包括彗差），整個視場內成像質量是均勻的；同時考慮到製造成本，球面鏡的製造比拋物面要容易多了，一個新手學徒就能磨製很不錯的球面鏡，但要磨製拋物面可就需要一點手藝了。所以小口徑的牛反往往選擇球面鏡。

對於大口徑的牛反，這時候球面鏡的球差已經不可忽略了，選用球面鏡會使得像差大於允許極限。為了獲得良好的成像質量，只能選擇拋物面。而拋物面有明顯的彗差，根據賽德爾像差理論，彗差是與口徑的 2 次方成正比，與視場角的 1 次方成正比。在大口徑情況下，拋物面牛反的可用視場往往很小（相對的，有時候一些小口徑球面牛反的可用視場反而比較大）。

如上面的示意圖所示，橫軸代表視角大小，縱軸代表像差大小。藍色的兩條線代表大口徑情況，紅色的兩條線代表小口徑的情況；水平直線代表球面主鏡（球差與視角無關），斜線代表拋物面主鏡（彗差與視角成正比）。在允許像差極限內，大口徑拋物面鏡（藍色的斜線）的視場比較小，而小口徑球面鏡（紅色的水平線）像差一直在允許極限之內，所以可用視場比較大。

有一個經驗公式，對於口徑

的牛反，臨界焦比為

，焦比比這個值大的，可以用球面。舉例來說，對於口徑 200mm 的牛反，臨界焦比為 8。9。所以如果要做一支 200/F10 的牛反，可以用球面鏡；而要是做一支 200/F5 的快鏡，那就只能用拋物面了。

三個系統的光斑圖對比（請點開大圖看），從左至右：上一篇介紹過的兩片式消色差折射鏡（全視場角1。3度），F10的球面牛反（全視場角3。0度），F5的拋物面牛反（全視場角0。4度）

從上面的光斑圖可以看出，在焦比比較大（F10）的情況下，球面牛反的成像質量遠遠好於兩片式消色差折射鏡，而且視場可以非常大，全視場成像質量非常均勻（少許的不對稱來源於副鏡的遮擋）；而在小焦比（F5）的情況下，拋物面牛反的可用視場非常小，對比大焦比的球面牛反，成像質量差不多的優良視場只有不到 1/7（注，本文中所有光斑圖均為在最佳成像球面上的計算結果，不反映場曲的情況）

2。 等光程還是等暈？

牛頓反射鏡用於目視的話，眼睛的觀測方向和望遠鏡實際的指向是不一致的，多少會有點彆扭。如果增加一塊反射鏡（副鏡），把第一面反射鏡（主鏡）的焦點加以翻折，引出到主鏡背後，這樣的話觀測起來視線方向就和望遠鏡的指向一致了。而且整個系統光路經過翻折，使得結構非常緊湊，可以在很小的體積內做出很長的焦距，在拍攝行星等小目標場合下非常有優勢。

這種系統稱為卡塞格林系統（Cassegrain），主鏡是一片凹鏡，承擔主要光焦度，而副鏡是一片凸鏡，將主鏡的焦點翻折，同時也放大了整個系統的焦比。沿著光路展開來看，是一種正-負形式的望遠結構（還有一種副鏡是凹面的格里高利系統，可以看做正-正的類顯微結構，使用較少，這裡就不詳細介紹了）。

卡塞格林系統的兩片反射鏡應該是什麼形狀呢？根據以前文章中提到的圓錐曲線的光學性質，我們很容易想到使用拋物面+雙曲面的組合，主鏡用拋物面，副鏡用雙曲面。這樣一來，對於軸上平行光入射，系統滿足等光程條件，能夠完美成像。

卡塞格林系統主鏡用什麼形狀？

但是顯然的，這樣的結構和拋物面牛反一樣，只有一條對稱軸。雖然對軸上光線能滿足等光程條件，能夠完美消除球差，但對於軸外光線存在彗差。卡鏡比牛反多了一個反射鏡面，理論上就多了一些設計自由度，如果只能消除球差，似乎有點浪費。我們是不是可以利用這些自由度，來校正軸外像差呢？

答案當然是可以的。在經典卡塞格林系統基礎上，根據初級像差理論，消除球差和彗差，計算的結果就是主鏡和副鏡都是雙曲面。這就是大名鼎鼎的 RC 結構，以兩位發明者裡奇（Ritchey）和克里蒂安（Chretien）的名字命名。RC 結構可以看做同時消除球差和彗差的卡塞格林系統。目前人類建成的大型天文臺的主力望遠鏡，大多都是 RC 結構，比如凱克望遠鏡、雙子望遠鏡等。而最著名的 RC 系統，恐怕莫過於哈勃望遠鏡了。

RC 系統畢竟是根據初級像差理論計算出來的，相比經典的卡塞格林結構「完全」消除球差、「嚴格」滿足等光程條件，RC 結構並不是完美消除了球差和彗差，只是近似消除。在相對口徑較小的情況下，初級像差理論與實際情況很接近，RC 結構成像質量非常高。但是隨著口徑增加，初級像差理論逐漸偏離實際情況，RC 結構也逐漸顯現出殘留的高階球差和彗差。

對經典卡塞格林系統，我們說他滿足等光程條件，而對 RC 系統，我們說他滿足的是等暈（isoplanatic）條件。等暈指的是在一定區域內，像差大小都差不多，但不要求嚴格等於零。等光程固然有其數學上的優美之處，但適當放鬆一些要求而追求等暈，卻可帶來整個視場內成像質量的極大提升。事實上，在小視場情況下，RC 系統的像差的確是非常接近零的。對於這種校正了球差和彗差、像差極小的等暈系統，有時候我們又稱為齊明（aplantic）的。

三個系統的光斑圖對比（請點開大圖看），從左至右：F5的拋物面牛反（全視場角0。4度），F5的經典卡塞格林（全視場角0。4度），F5的RC（全視場角0。4度）

上圖展示了三個系統的光斑圖，在相同條件下（中等相對孔徑 F5，小視場角 0。4 度），經典卡塞格林系統與拋物面牛反的像差情況差不多，而相對的，RC 系統表現就極其優秀，在小視場情況下，全視場都維持在衍射極限內。

不論是拋物面牛反還是卡塞格林系統，由於沒有消除彗差，成像優良的可用視場非常小。RC 系統怎麼樣呢？雖然 RC 系統消除了球差和彗差，但是仍然有比較明顯的像散和場曲，可用視場仍然比較小。

三個系統的光斑圖對比（請點開大圖看），從左至右：F10的球面牛反（全視場角1。3度），F10的經典卡塞格林（全視場角1。3度），F10的RC（全視場角1。3度）

從上圖的對比可以看出，在稍微大一點的視場情況下（這裡只有1。3度），不論是經典卡塞格林系統還是 RC 系統，光斑都迅速增大，成像質量迅速降低。即使是小相對孔徑（這裡是 F10），也無法抵消彗差、像散等軸外像差急劇增加的情況。

3。 好看還是好用？

儘管 RC 系統在大型天文臺的主力望遠鏡中佔據絕對統治地位，但是在愛好者的望遠鏡中卻並不流行。讀者朋友們不妨先不著急往下看，想想是為什麼？

我一直說光學設計是權衡和妥協的藝術，上面我們已經看到了口徑和視場之間的權衡、成像質量和鏡片磨製難度的權衡、嚴格等光程和等暈之間的權衡。而 RC 系統在專業天文臺和愛好者兩邊截然不同的普及程度，顯然也體現了某種權衡的結果。

RC 系統的優勢特別突出——結構簡單，在可用視場內成像質量非常好，在小視場的情況下可以做到相當大的相對孔徑。對專業天文觀測來說，往往幾十角分的可用視場就足夠，而對很大相對孔徑的需求卻是非常強。這些優點使得在專業天文觀測領域 RC 系統大放異彩。但對於天文愛好者來說，RC 系統的可用視場就太小了，拍個月亮還要有 0。5 度的視場呢，更別說一些星雲，動不動就幾度大小，典型的 RC 系統就顯得力不從心了。

如果僅僅是可用視場小，還並不是主要問題，我們可以透過平場鏡、改正鏡等手段進行校正。正在導致 RC 系統在愛好者手裡遭到冷遇的更主要原因，就是 RC 系統的副鏡製造難度極高，同時 RC 系統的副鏡裝配要求也極高。RC 系統副鏡是雙曲面凸鏡，磨製和檢測的成本，大大高於主鏡的雙曲面凹鏡。愛好者嘛，多數也不是家裡有礦，成本高了，玩的人自然就少了。而 RC 副鏡對裝配要求高，更是勸退一大批愛好者。雙曲面鏡只有一條對稱軸，在裝配的時候，主鏡和副鏡的對稱軸必須嚴格重合，否則會引入額外的像差。這個難度可想而知。如果有玩過牛反的同學，想想牛反那麼簡單的結構，調光軸是如何玩死人的，RC 調光軸的難度絕對是加一個數量級。

所以我們再次妥協一下，稍稍降低一點對像差的需求，來換取裝配的極大便利——這就誕生了在愛好者中相對更廣為接受的 Dall-Kirkham 系統。這種設計主鏡是一個橢球面，副鏡是一個球面。眾所周知，球面有無數的對稱軸，因此裝配過程遠比 RC 系統要容易。而凸球面的製造和檢測的難度也遠低於凸雙曲面，從而大大降低了製造成本。

三個系統的光斑圖對比（請點開大圖看），從左至右：F10的經典卡塞格林（全視場角1。3度），F10的RC（全視場角1。3度），F10的 DK（全視場角1。3度）

但妥協畢竟是妥協，DK 系統殘留有較大的彗差，成像質量比起 RC 系統是大大降低了。從上面的光斑圖看出來，在同樣的情況下，DK 系統成像質量大大低於經典卡塞格林系統和 RC 系統，甚至也低於同樣相對孔徑下的球面牛反。

4。 現代消費級反射鏡的出路？

從牛爵爺發明反射望遠鏡到今天，已經將近 400 年了，對於一個普通愛好者來說，如果想自己體驗一把製造望遠鏡的樂趣，牛頓反射鏡仍然是不二之選。最近一個多世紀一來，消費級天文望遠鏡領域發展日新月異，上文討論的 RC 系統、DK 系統就是其中的佼佼者。但這兩者仍然有著難以克服的缺點，讓人覺得惋惜。

近年來，隨著計算機算力的極大提升，人們找到了另一條出路，用一種兩全其美的方法，解決了 RC 和 DK 等結構的缺點——用一組透鏡做改正鏡，加在系統末端。這組透鏡直徑相對較小，製造成本比較低廉。透過透鏡組，對反射鏡的殘留像差進行校正。一來校正了場曲，可以獲得極為平坦的像場，方便整個系統應用於拍攝（用於目視的系統對場曲通常不做要求）；二來校正了主系統殘留的其他像差（主要是殘餘彗差和像散，而球差基本由主系統消除），極大提高了成像優良的有效視場大小。

反射鏡+改正透鏡的組合，使得普通消費者眼裡接受度不高的反射鏡，重新煥發了生機。一時間 RC-改、DK-改、牛反-改紛紛出爐，讓廣大愛好者大過眼癮。

預知後事如何，且聽下回分解。