微分幾何入門筆記（八）——球面微分幾何

作者：由時雨in 發表于攝影時間：2022-03-14

本文介紹三維歐氏空間中半徑為

的球面上的度規、克氏符、測地線及曲率，來作為《微廣》第三章的總練習，是一個很好的回顧克氏符、曲率張量求法步驟的問題。之後學習中如果對這些概念有遺忘，不妨透過這個有意思的練習快速把知識點抓起來。

求克氏符、曲率的過程中，分量的數目眾多，需要事先利用對稱性降低需要求的分量個數，本文儘量講清楚這些細節邏輯。

1。球面度規

既然稱為歐氏空間，說明

度規

已經確定，但是實際有用的是度規的分量，所以需要選定座標系。在球面上選擇極角

$\theta$

和方位角

$\phi$

作為座標系最為合理，分別作為第一座標和第二座標（用於排矩陣），則球面上的

線元

可以表示為：

$\mathrm ds^2=r_0^2(\mathrm d\theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm d\phi^2)$

於是可以直接讀出度規的分量矩陣為：

$(g_{\mu\nu})=\begin{bmatrix}r_0^2 &\\&r_0^2\sin ^2\theta\end{bmatrix}$

這裡的度規其實是球面子流形上的誘導度規。其逆就是將對角線取倒數，為：

$(g^{\mu\nu})=\begin{bmatrix}\frac{1}{r_0^2} &\\&\frac{1}{r_0^2\sin ^2\theta}\end{bmatrix}$

由於求

克氏符

的時候需要用到度規分量的偏導數，所以不妨直接先對度規矩陣求偏導。觀察發現，度規矩陣中的項只和

$\theta$

有關，所以有：

$(g_{\mu\nu,\theta})=\begin{bmatrix}0&\\&2r_0^2\sin \theta\cos\theta\end{bmatrix}$

也即，度規分量的所有偏導數之中，只有

$g_{\phi\phi,\theta}$

不等於零。

2。克氏符

克氏符分量與度規分量的關係應該背下來才對：

${\Gamma^\sigma}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma\rho}(g_{\rho\mu,\nu}+g_{\rho\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\rho})$

這是根據度規與聯絡（導數）相容性條件

$\nabla_a g_{bc}=0$

展開得到的。考察上面這個公式，我們只需要求非零的分量即可。由於度規的逆矩陣

$(g^{\mu\nu})$

的元素都在對角線上，所以

$\sigma$

和

$\rho$

必須相等才可能不為零，將所有

$\rho$

直接替換為

$\sigma$

。於是括號裡面的指標是初始的

$\mu$

、

$\nu$

和

$\sigma$

三個指標的排列。另一方面，由於唯一的非零度規分量偏導為

$g_{\phi\phi,\theta}$

，所以

$\mu$

、

$\nu$

和

$\sigma$

三者之中必須兩者為

$\phi$

，剩下一個為

$\theta$

。也即只有

${\Gamma^{\theta}}_{\phi\phi}$

和

${\Gamma^{\phi}}_{\theta\phi}={\Gamma^{\phi}}_{\phi\theta}$

這三個分量不為零，分別為：

${\Gamma^{\theta}}_{\phi\phi}=\frac{1}{2}g^{\theta\theta}(-g_{\phi\phi,\theta})=-\sin\theta\cos\theta\\ {\Gamma^{\phi}}_{\phi\theta}={\Gamma^{\phi}}_{\theta\phi}=\frac{1}{2}g^{\phi\phi}g_{\phi\phi,\theta}=\cot\theta$

這就是所有非零克氏符分量。

3。球面測地線

首先回顧一下測地線方程。測地線的定義是，曲線切矢沿著自身平移的曲線。換句話說，測地線上的切矢在每一點處沿自身的方向導數為0。也就是滿足：

$(\partial/\partial t)^b\nabla_b(\partial/\partial t)^a=0$

將其中的（與度規相容的）導數算符

$\nabla_a$

在座標系下展開為普通導數

$\partial_a$

和克氏符得到：

$0=(\partial/\partial t)^b \partial_b (\partial/\partial t)^a+(\partial/\partial t)^b{\Gamma^a}_{bc}(\partial/\partial t)^c$

由於

$(\partial/\partial t)^b \partial_b$

作用於任意切矢場

其實就是將每個分量

$v^\mu$

對

求導而已。所以第一項為：

$(\partial/\partial t)^b \partial_b (\partial/\partial t)^a=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d t}\right)(\partial/\partial x^\mu)^a\\=\frac{\mathrm d^2x^\mu}{\mathrm d t^2}(\partial/\partial x^\mu)^a$

第二項可以直接利用抽象指標表達式和具體指標表達式的對應關係（參照我之前的筆記）之直接寫出來為：

$(\partial/\partial t)^b{\Gamma^a}_{bc}(\partial/\partial t)^c=\frac{\mathrm d x^\nu}{\mathrm d t}{\Gamma^\mu}_{\nu\sigma}\frac{\mathrm d x^\sigma}{\mathrm d t}(\partial /\partial x^\mu)^a$

將兩項合起來得到

測地線方程

：

$\frac{\mathrm d^2 x^\mu}{\mathrm d t^2}+{\Gamma^\mu}_{\nu\sigma}\frac{\mathrm d x^\nu}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d x^\sigma}{\mathrm dt}=0$

對於球面，由於克氏符只有三個分量不為零，可以得到，測地線的引數方程

$\theta = \theta(t),\phi=\phi(t)$

滿足：

$\frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm d t^2}+{\Gamma^\theta}_{\phi\phi}\left(\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm dt}\right)^2=0\\ \frac{\mathrm d^2 \phi}{\mathrm d t^2}+2{\Gamma^\phi}_{\phi\theta}\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm dt}=0$

代入前面求到的分量結果得到

球面測地線方程

：

$\frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm d t^2}-\sin \theta\cos\theta\left(\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm dt}\right)^2=0\\ \frac{\mathrm d^2 \phi}{\mathrm d t^2}+2\cot\theta\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d \phi}{\mathrm dt}=0$

容易驗證，赤道大圓弧

$\theta(t)=\frac{\pi}{2},\phi(t)=t$

滿足上述方程。由於任意大圓弧都能夠透過變換座標系稱為赤道上的弧，即有球面上

大圓弧

是測地線的結論。

4。球面曲率

黎曼曲率

分量需要用到克氏符分量的偏導數，計算公式為（參見教材）：

${R_{\mu\nu\sigma}}^\rho={\Gamma^\rho}_{\sigma\mu,\nu}-{\Gamma^\rho}_{\sigma\nu,\mu}+{\Gamma^\lambda}_{\sigma\mu}{\Gamma^\rho}_{\nu\lambda}-{\Gamma^\lambda}_{\sigma\nu}{\Gamma^\rho}_{\mu\lambda}$

由於非零克氏符只有：

且只與

$\theta$

有關。所以非零的克氏符分量偏導只有：

${\Gamma^\theta}_{\phi\phi,\theta}=\sin^2\theta - \cos^2\theta\\ {\Gamma^\phi}_{\phi\theta,\theta}={\Gamma^\phi}_{\theta\phi,\theta}=-\frac{1}{\sin^2\theta}$

由於曲率分量

${R_{\mu\nu\sigma}}^\rho$

個，一個個計算效率太低，但其中大部分都是零。

下面分析曲率張量的對稱性，得出非零分量應該滿足的條件。由於

${R_{\mu\nu\sigma}}^\rho$

關於

$\mu$

和

$\nu$

反對稱，即有

$\mu\neq \nu$

。另一方面，由於

${R_{\mu\nu\sigma}}^\rho=g^{\rho\lambda}{R_{\mu\nu\sigma\lambda}}$

。如果

$\sigma=\rho$

，則：

${R_{\mu\nu\sigma}}^\sigma=g^{\sigma\lambda}{R_{\mu\nu\sigma\lambda}}=g^{(\sigma\lambda)}{R_{\mu\nu(\sigma\lambda)}}=0$

所以非零分量要求

$\mu\neq\nu,\sigma\neq\rho$

。滿足條件的分量只有四個：

${R_{\theta \phi\theta}}^\phi=-{R_{\phi\theta \theta}}^\phi=\\ {\Gamma^\phi}_{\theta\theta,\phi}-{\Gamma^\phi}_{\theta\phi,\theta}+{\Gamma^\lambda}_{\theta\theta}{\Gamma^\phi}_{\phi\lambda}-{\Gamma^\lambda}_{\theta\phi}{\Gamma^\phi}_{\theta\lambda} \\=\frac{1}{\sin^2 \theta}-\frac{1}{\tan^2\theta}=1$

以及

${R_{\phi\theta\phi}}^\theta=-{R_{\theta\phi\phi}}^\theta=\\{\Gamma^\theta}_{\phi\phi,\theta}-{\Gamma^\theta}_{\phi\theta,\phi}+{\Gamma^\lambda}_{\phi\phi}{\Gamma^\theta}_{\theta\lambda}-{\Gamma^\lambda}_{\phi\theta}{\Gamma^\theta}_{\phi\lambda}\\=\sin^2\theta$