為什麼我等的公交車總是遲到？

作者：由你有種放學別走發表于詩詞時間：2019-07-16

本文原載於我的部落格念山居，轉載請註明出處。

為什麼我等的公交車總是遲到？這如果不是一種錯覺，那我就像擁有了超能力一樣，因為我的等待而產生了神秘的力量讓公交車遲到。彷彿是量子力學在宏觀世界的表現，因為我的觀測而對公交車產生了擾動。如果不是衰神附體，那這股神秘的力量究竟是什麼？本文將使用嚴格的數學證明來解釋這一神秘的力量。

數學證明

要使用嚴格的數學證明，首先我們需要用數學語言來定義問題。

首先我們定義計數過程

$N(t)$

，表示直至

$t$

時刻為止（含）到達的公交車的數量；第

$n$

輛公交車到達的時刻記作

$S_n$

，第

$n-1$

輛公交車與第

$n$

輛公交車的到達間隔記作

$X_n$

；並且我們假設公交車到達的時間間隔

$X_n$

是相互獨立的並且都服從相同的分佈

$F$

，這樣的假設也符合實際的生活經驗。透過以上的定義，我們便得到了一個更新過程

$\{N(t), t \geq 0\}$

。

下面我們證明

$P\{X_{N(t)+1} \geq x\} \geq \bar{F}(x)$

，包含

$t$

的區間長度大於

$x$

的機率比普通的區間大於

$x$

的機率更大，也即假設我們在

$t$

時刻到達公交車站開始等公交車，那麼我們所處的這個區間，公交車的到達間隔相較於平常為更大的機率會更大。

$\begin{align} P\{X_{N(t)+1} \geq x\} &= \int_0^{\infty} P\{X_{N(t)+1} \geq x | S_{N(t)} = s \}dF_{S_{N(t)}}(s)\\ &= \int_0^{\infty} P\{X_{N(t)+1} \geq x | X_{N(t) + 1} > t - s \}dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &= \int_0^{\infty} \frac{P\{X_{N(t)+1} \geq x, X_{N(t) + 1} > t - s \}}{P\{X_{N(t) + 1} > t - s \}}dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &= \int_0^{\infty} \frac{1 - F(max\{x, t-s\})}{1 - F(t-s)}dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &= \int_0^{\infty} min\{\frac{1 - F(x)}{1 - F(t-s)}, \frac{1 - F(t-s)}{1 - F(t-s)}\}dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &= \int_0^{\infty} min\{\frac{1 - F(x)}{1 - F(t-s)}, 1\}dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &\geq \int_0^{\infty} 1 - F(x)dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &= \bar{F}(x) \end{align} \\$

如果更加具體的假設公交車的到達間隔服從均值為

$\lambda$

的指數分佈，也即

$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\\$

那麼我們可以得到：

$\begin{align} P\{X_{N(t)+1} \geq x\} &= \int_0^{\infty} \frac{e^{-\lambda x} }{e^{-\lambda(t-s)}}dF_{S_{N(t)}}(s) \\ &= \int_0^{t-x} dF_{S_{N(t)}}(s) + \int_{t-x}^t e^{-\lambda x} dm(s) \\ &= - e^{-\lambda t} + (1 + x/\lambda)e^{-\lambda x} \\ & = - e^{-\lambda t} > \bar{F}(x) \end{align}\\$

至此我們嚴格證明了我們等待公交車的時間更可能比一般公交車到達的間隔要長！這看起來似乎不可理喻，然而數學不會撒謊，這就是隨機過程中的

檢驗悖論（inspection paradox）

。

問題出在哪？

我們的等待區間傾向於更長，這似乎與我們初始的假設獨立同分布相矛盾，那麼問題究竟出在哪呢？下面我們用更加直觀的方式去理解這個問題。

我們將公交車的到達想象為時間軸上的一系列點，我們到達公交車站的時刻就是隨機的在這個時間軸上取一點，那麼很顯然，我們的到達時刻落在更長的區間裡的機率更大。也就是說我們的到達實際上並沒有等可能地落在所有區間中，而是更加傾向於較長的區間。那麼我們等待的區間更長也就不足為奇了，因為這並非是一個無條件機率，本質是一個條件機率，即在

我們“隨機”選中某個區間進行等待的條件下

，該區間長度的分佈，而我們忽略的這個條件中的“隨機”並沒有真的隨機，因為他實際上已經為我們篩選了更長的區間。

一個更加著名也更加易於理解的例子是“飛機問題”中的倖存者偏差。在二戰期間，人們發現倖存的轟炸機中，機翼中彈的數量很多，而機身中彈的卻很少。因此人們認為我們應該加固飛機的機翼。其實不然，就是因為機翼中彈多還能飛回來，所以機翼中彈並沒有影響飛機返航；而機身中彈的少則說明了子彈打中機身對飛機的影響更大，導致飛機不能返航。

我更喜歡用另外一個更具哲學意味的例子去闡述這個問題。產生生命的條件是如此之苛刻和機緣巧合，人類這麼精巧的生命產生是幾乎不可能的，為什麼又會有人類產生呢？那麼正是因為產生了人類，才會有人去思考這樣一個問題，那麼這個機率也從不可能變成了必然。

經濟學的困境

這就像量子力學的測不準原理一樣，因為我們的觀測而對被觀測物件產生的影響，從而對觀測結果產生了干擾。好在與這個不同是，我們可以在公交車站等一天甚至等一年的車，透過多次觀測來保證取樣的無偏性，大數定律會給你答案。

然而不幸的是，並非所有的實驗都可以多次進行，尤其是在社會科學比如經濟學的語境下。我們很多時候只能觀測和解釋，並不能設計和實施實驗。經濟學中很多理論都是基於對經濟現象的觀測，根據時間的先後關聯和一系列的抽象和假設對現象進行解釋。然而時間的先後關聯並不能代表邏輯的因果關係，更何況我們的觀測反過來又會影響其本身的機率分佈。就像明代思想家王陽明的那朵花一樣，“你未看此花時，此花與汝心同歸於寂。你來看此花時，則此花顏色一時明白起來”。

雖然這樣未免太過於唯心，周遭的世界並不會由於我們的意識而存在或消失或改變，然而我想沒人可以證偽我們所感受到的一切只是心中的意識，我所唯一能確定的是此刻這個宇宙中有一個人正在思考這個問題，而當我不思考的時候，這個也變得不確定起來。這就是笛卡爾所言的“我思故我在”吧。

Reference:

Ross， S。 M。， Kelly， J。 J。， Sullivan， R。 J。， Perry， W。 J。， Mercer， D。， Davis， R。 M。，。。。 & Bristow， V。 L。（1996）。

Stochastic processes

（Vol。 2）。 New York： Wiley。

標簽：公交車我們到達區間觀測

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