球面上的“均勻”分佈
首先，如何定義這個題目中的“均布”，理解為“evenly distributed”，也就是儘可能儘可能減少跟“uniform distribution”的discrepancy。寫得更加準確一點就是：
![D\left(X_{N}\right):=\sup _{\mathbf{y} \in \mathbb{S}^{2}, \atop \varphi \in[0, \pi]}\left|\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \mathbb{1}_{C(\mathbf{y}, \varphi)}\left(\mathbf{x}_{j}\right)-\sigma_{d}(C(\mathbf{y}, \varphi))\right| \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/aCiDrOCKpXlzH29ycBVtYA6z8CDvsO7pdp=DprA5AyeS0lCQ+JJTZFpEG-KO-TY2JIZRddn2hxJP+205XyVO+f2y3ekFm+wwJIUhrgrUeO=SWHH_B6TQWo+58DrtTC0_JIZiHZn0gPQi5PIB_yFbbFbZ8YK1ZQD-NNhg-7n=EN0Y4SLQ+JmTIV6CfC-GpPTEJIUh8CxPXBZt5PIB_yhi+fpUA-KOZWh-NKFepJn0hxJzIBIB_y+SX4fjVAFtTJwNcA=XGK0Bq+JzIBIN_oCSBBfs3eo=qP7SXXRAaC==qNdn4SLQ+JJU+fGUJYK1awh-NKFyn8JnxA0SWHHJ+Jr-VV6OfKFttcX-NKFyn8JnxAqSWH0P+Jr-+f3Q4kKHZPqdcuD1pJnPF+JzIBIB_y+SX4fjAaZtTJwSYqi1nCL=EN1g4SLQVYez_EsjVAetTJwaapZ18VnPF+CSW-wVYqrQW7DjVA2wm+LwJIdBaZnPFxJP+1CXbCVcXZ6Of3ntTCc-Mnr4GKrlYATYGmY5+JMh+f2y3eo=qFjtaChg-PCqdInT4S7jW.jpeg)
其中
球面兩點的夾角（等價於測地距離），
是球面上以
為中心，
為最大夾角的圓覆蓋區域，
表示球面上某個區域的測度（面積）。
如何在球體上均勻分佈點的問題由來已久，在數學、物理、化學和計算的許多領域都具有巨大的意義，包括但不僅限於數值分析、逼近論、晶體學、病毒形態、靜電、編碼理論和計算機圖形學，所以從各種角度研究這個問題的方法都有。除了少數情況外（比如等價於正多面體頂點的情形），這個問題仍沒有完全解決。因此，一般只能求得近似解決方案。
下面介紹兩種方法：
最小勢能法
其中一種方法是將散點想象為同種電荷的相同粒子，分佈在球面上，使得總勢能最小，也就是尋找一組
個點：
使得最小化
不難知道上式是可以取到最小值的，但上面的函式有非常多的區域性極小值。如何選取到最小值就是典型的流形上的光滑最佳化問題，需要透過最佳化數值求解，參考彙總的結果
對於49個點，其中一個近似解如下（北極方向的正交投影）：
再多一些點也有近似解，比如2500個點，北極的正交投影就是：
斐波那契格點構造法
另一種比較“美觀”的做法是構造斐波那契網格，本質是上
區域上的斐波那契網格經過保面積變換投影到球面上的樣子（Lambert azimuthal equal-area projection）
首先是
上的斐波那契網格，也就是
def
gen_fib_lattice
（
N
）：
phi
=
（
1
+
np
。
sqrt
（
5
））
/
2
x
=
（
np
。
arange
（
1
，
N
+
1
）
/
phi
）
%
1
y
=
np
。
arange
（
1
，
N
+
1
）
/
N
return
x
，
y
看起來就是：
斐波那契格點在平面上有均勻分佈的特性，然後透過保面積變換，將其變到圓上：
def area_preserve_rec2circ（x， y）：
theta = 2 * np。pi * x
r = np。sqrt（y）
return theta， r
看起來就是
最後還是透過保面積變換，將平面上的圓變換到球面，也就是前面提到的Lambert azimuthal equal-area projection
def area_preserve_circ2sphere（theta， r）：
phi = 2 * np。arcsin（r） # latitude
x = np。cos（theta） * np。sin（phi）
y = np。sin（theta） * np。sin（phi）
z = np。cos（phi）
return x， y， z
對於N=49，長得是這個樣子：
也可以求任意給定點數的排布，比如N=2500，看起來比最小能量的結果更加詭異一點：
總結
這次介紹了逼近球面上“evenly distributed”均勻布點的兩種方法，一種是計算勢能，類似光滑曲面上的帶電粒子排布，另一種是平面的某種均布（斐波那契格點）透過兩步保積變換投影到球面上。 當然還有一些基於距離的做法。不管怎樣，所謂球面上均布的網格、插值、積分以及各種數值方法有非常緊密聯絡，非常重要就是了~ @派大西
參考連結：
How to evenly distribute points on a sphere more effectively than the canonical Fibonacci Lattice
Distributing many points on spheres： minimal energy and designs
https：//
stackoverflow。com/quest
ions/9600801/evenly-distributing-n-points-on-a-sphere
