整除的特徵、三位截斷法的原理

對於數的整除特徵大家都比較熟悉：比如4看後兩位（因為100是4的倍數），8看後三位（因為1000是8的倍數），5末尾是0或5，3與9看各位數字和等等，

今天重點研究一下3,9,7,11,13的整除特徵（重點是三位截斷法的原理）。繼續用字母來代替數來推導公式，弄清原理又鍛鍊代數與證明問題能力。

①3，9的整除特徵（各位數字和）

設三位數abc（a，b，c等代表0-9的數字，以下同樣），用位值原理拆開

100a+10b+c

=（99+1）a+（9+1）b+c

=99a+9b+a+b+c

由於前兩項都是9的倍數，不影響除以9的餘數，所以a+b+c就是這個數除以9的餘數。如果除以9餘0，那麼這個數就是9的倍數。

②11的整除特徵（奇位數字和與偶位數字和的差）

把一個數由右邊向左邊數，如果奇位上數字和與偶位上數字和的差，是11的倍數（包括0），那麼這個數就是11的倍數。

首先10的奇數次方減去1就是11的倍數，例如10000-1=9999，100-1=99

其次10的偶數次方加上1也是11的倍數，例如1000+1=1001，10+1=11

設五位數abcde，用位值原理拆開

10000a+1000b+100c+10d+e

=9999a+1001b+99c+11d+a-b+c-d+e

前4項都是11的倍數，不影響除以11的餘數。所以如果a-b+c-d+e是11的倍數，那麼這個數就是11的倍數。（由於是減法，可能出現負數，可以加上11的倍數變成非負的再判斷；或者用偶數位和減去奇數位和，用它們的差判斷就可以）

③三位截斷法（後三位截斷作差）的原理（7,11,13）

這種方法利用1001=7×11×13

設六位數abcdef，用位值原理拆開

1000abc+def=1001abc-abc+def

第一項是1001的倍數，可以不考慮它。

只看def-abc即可（如果為負數，可以用abc-def來判斷，即def與abc的差）

例如def與abc的差是13的倍數，那麼abcdef就是13的倍數。

如果位數比較大可以多截幾次

例：判斷593654321是否是7，11，13的倍數。

593654-321=593333；593-333=260；

因為260不是7，11的倍數，

所以593654321不是7，11的倍數。

因為260是13的倍數，

所以593654321就是13的倍數。