【分析力學】向量代數
Einstein求和約定（一種符號速記方法）：
將
A_iB_i
這樣的表示式解釋為對重複的下標由1到3求和。若出現兩個不同的重複下標，就意味著二次求和，依此類推。重複的下標叫
啞指標
，非重複下標叫
自由指標
。即
A_iB_i=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3=\sum_{i-1}^{3}{A_1B_i}\\ A_iB_jC_iD_kE_j=D_k\sum_{i=1}^{3}{A_iC_i}\sum_{j=1}^{3}{B_jE_j}\\ A_{jj}=A_{11}+A_{22}+A_{33}
Einstein曾公開稱這是他的一個偉大的發現。（雖然感覺更像是偷懶）
Kronecker符號：
\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i=j \\ 0 & \text{if } i\ne j \end{cases}\tag{1}
Kronecker符號的兩個下標的交換是對稱的，即
\delta_{ij}=\delta_{ji}
。Kronecker符號具有收縮求和指標的作用，如
\delta_{ik}A_{kj}=A_{ij}
，
\delta_{ik}\delta_{kj}=\delta_{ij}
，
\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}
。
Levi-Civita符號：
\varepsilon_{ijk}=（i-j）（j-k）（k-i）/2\tag{2}
或
\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} + 1 & \text{if } （ijk）為（1，2，3）的偶排列，即\varepsilon_{123} =\varepsilon_{231} =\varepsilon_{312} =+1 \\ -1 & \text{if } （ijk）為（1，2，3）的奇排列，即\varepsilon_{321} =\varepsilon_{213} =\varepsilon_{132} =-1\\ 0 & \text{其他 }，如兩個或兩個以上指標相同 \end{cases}\tag{3}
偶排列與奇排列是指將排列
（ijk）
透過其兩兩元素對換變成排列
（1，2，3）
所需要對換的次數為偶數或者奇數。因此Levi-Civita符號的下標改變順序需要改變符號，即
\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{ikj}
。
Levi-Civita符號與Levi-Civita符號有如下 \epsilon-\delta 恆等式：
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}=\begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} \end{vmatrix}\tag{4}
向量點積：
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\left| \boldsymbol{A} \right|\left| \boldsymbol{B} \right|\cos\theta\tag{5}
在直角座標系中
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=A_iB_i\tag{6}
對於直角座標基矢，有
\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\delta_{ij}\tag{7}
這裡
i
和
j
均為自由指標。
向量叉積：
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}
的大小：
\left| \boldsymbol{A} \right|\left| \boldsymbol{B} \right|\sin\theta
。方向：右手螺旋法則。也可表示為：
\begin{align} \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}&=（A_yB_z-A_zB_y）\boldsymbol{e}_x+（A_zB_x-A_xB_z）\boldsymbol{e}_y+（A_xB_y-A_yB_x）\boldsymbol{e}_z\\ &=\begin{vmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} \end{align}\tag{8}
對於右手直角座標系，有
\boldsymbol{e}_i\times\boldsymbol{e}_j=\varepsilon_{ijk}\boldsymbol{e}_k\tag{9}
利用（6），向量叉積可表示為
\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}=（A_i\boldsymbol{e}_i）\times（B_j\boldsymbol{e}_j）=\varepsilon_{ijk}A_iB_j\boldsymbol{e}_k\tag{10}
式中，
i
和
j
為啞指標，
k
為自由指標。
三個向量混合積：
\boldsymbol{A}\cdot（\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}）=（A_i\boldsymbol{e}_i）\cdot（\varepsilon_{jkl}B_jC_k\boldsymbol{e}_l）=\varepsilon_{jkl}A_iB_jC_k\delta_{il}=\varepsilon_{ijk}A_iB_jC_k\tag{11}
進一步可推匯出：
\boldsymbol{A}\cdot（\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}）=\boldsymbol{B}\cdot（\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}）=\boldsymbol{C}\cdot（\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}）\tag{12}
三重矢積：
\boldsymbol{A}\times（\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}）=\boldsymbol{A}\times（\varepsilon_{jkl}\boldsymbol{B}_j\boldsymbol{C}_k\boldsymbol{e}_l）=\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{jkl}A_iB_jC_k\boldsymbol{e}_m\tag{13}
將其轉化為點積計算公式：
\begin{align} \boldsymbol{A}\times（\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}）&=-\varepsilon_{iml}\varepsilon_{jkl}A_iB_jC_k\boldsymbol{e}_m\\ &=-（\delta_{ij}\delta_{mk}-\delta_{ik}\delta_{mj}）A_iB_jC_k\boldsymbol{e}_m\\ &=A_kB_jC_k\boldsymbol{e}_j-A_jB_jC_k\boldsymbol{e}_k\\ &=（\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}）\boldsymbol{B}-（\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}）\boldsymbol{C} \end{align}\tag{14}
參考文獻
盧文發。量子力學與統計力學。 上海交通大學出版社， 2013。