猜數大小遊戲中，是否有策略能讓自己的勝率高於50%？為什麼？

作者：由無知即力量發表于遊戲時間：2021-12-08

badfatraccoon2021-12-10 19:04:18

如果是理論上來說的話，這個問題其實和A，B使用的操作方法有關

你可以選兩個圖靈可計算函式f：N→｛0，1｝和g：N→Z，然後計算如果f（n）=0就拿第一個數，f（n）=1就拿第二個數

假設你選的那個數是x

然後再計算g（n），如果g（n）≤x，那就答大，反之答小

有足夠的時間的話，B肯定會贏。完全隨機是不存在的，A一定是以某種函式給出兩個數字的，而且這個函式一定是可計算的。因此足夠多的局數之後，B一定能猜到A使用的函式，透過A給出兩個數字所用的時間，B就可以逐漸猜測出A所用的函式

Yuz.Scarlet2021-12-12 06:58:20

這個策略沒有問題，猜對的機率的確大於1/2，這跟紅包悖論一樣是一個反常識的問題。

愚者2021-12-12 13:10:16

沒有錯誤，其實也不用拿正態分佈抽樣。假設你這邊的整數的取樣分佈是一個負無窮到正無窮上的一個分佈，並且你知道這個分佈的資訊。那麼顯然當看到一個數足夠大時，其本身就提供了一定資訊，既然第二個數也是從這個分佈取樣的，那麼根據其cdf，就可以知道其落在這個數左邊或右邊的機率。那麼你只要根據那邊機率大判斷其是大還是小。

所以，問題就在於現在cdf對於你是未知的，那麼。如果這個cdf嚴重偏離標準正態分佈的置信區間，這個增益會很小，直至還有0。5的勝率。所以本質上你還是在賭cdf是不是跟你設想的近似。

熾夢2021-12-13 12:02:39

謝邀，一開始沒看仔細，重新寫了回答。這個問題問的非常好，如果是題主自己想的，那要給題主點贊。我認為得到這種結論的關鍵原因是，對於所謂的未知分佈抽樣問題的誤解。

這個問題非常考驗對於機率空間的理解。本質上是假設不夠充分。其中最反直覺的點是，對於題中的a和b，必須在建立某種確定的機率測度的時候，才能討論機率，題主的方法的勝率才有可能高於50%，但是在分佈完全未知的情況下，這個機率測度實際上是無法建立的，更不要說計算勝率。

這句話不太好理解。實際上當你從某個分佈抽樣出a和b，甚至開始討論勝率的時候，你已經假設建立了一種機率測度，你的每一個步驟和結論，都是基於這個假設得到的一種條件機率（只是便於理解，嚴格來說不這樣講）。

實際上這個機率測度並不是自然建立的。把題主的方法退化一點可能會更加直觀的理解這個問題。理論上t服從的正態分佈，無論均值和方差是多少，結論都成立，那我們假設把方差退化為0，即t服從一個以機率1取到某個常數x的分佈。在這個情況下，其實相當於在抽樣前我就已經想好了一個數字x，按照題主方法，透過比較手裡的數字和x的大小，來猜測手裡的數是否較大。即使這樣，對於任何的給定分佈，這樣的勝率都顯然還是大於等於50%。但我們注意到，當a和b的分佈是一個以機率1大於x的分佈時，那麼和x比較的操作就毫無意義，勝率還是隻有50%。也就是說，當且僅當這是一個既不以機率1大於x也不以機率1小於x的分佈時，勝率才大於50%。

而這還是已知機率分佈的情況，什麼是我們以為的真正的未知分佈呢？我們進一步簡化一下，先假設a和b服從的分佈是從一個很小很簡單的分佈族裡抽取的，這個分佈族形如：以機率1/2取到整數n，以機率1/2取到n+1，且取t=0。5。那麼這個分佈族裡只有一個分佈是會讓與t=0。5的比較有意義的：就是n=0，只在這個情況下，和t比較才會讓勝率高於50%，其他時候勝率全部等於50%，因為其他任何情況下，該分佈以機率1大於或者小於t。但是抽中n=0這個分佈的機率是多少呢？進而如果給所有整數機率分佈組成的集合建立對應的機率測度，那這個機率測度如何定義，抽取分佈導致勝率大於50%的機率又是多少呢？這些機率測度終究是缺乏定義的，而沒有定義就沒法計算勝率。這樣就回到了一開始的問題，缺乏假設。

另外，這個問題討論到這裡註定非常反常識了，已經進入了現代機率論和測度論的範疇。注意到，所有整數集合上的機率測度組成的集合，是一個勢比連續統更高的無限集合，確切地說應該是阿列夫2。因此建立在“所有整數集合上的機率測度組成的集合”上的機率測度，已經非常複雜了。如何建立測度，如何積分，都是很複雜的問題，不是隨便就能良好定義的。即使這個測度能完成良好定義，還不排除會出現：從全整數測度集合中以機率1抽取使得勝率大於50%的分佈，但最後總勝率不大於50%的情況。所以未知分佈離計算勝率實在是相去甚遠。等我研究一下再來補充吧。

總的來說還是一個很有意思的問題，一個很有挑戰性的偽證。順便可以進一步做一些推廣和思考。

0、回顧前面提到的方法，我們在抽樣之前想好一個數x，我們拿到手裡的數以後與x比較。如果大於x則猜手裡的數大，如果小於則猜手裡數小。那麼可以推出對於任何已知的抽樣分佈，都有勝率大於等於50%。

1、假設我在抽樣前想好了兩個數x1

2、假設我抽樣前已經準備好了整數集

$\Z$

，當我們比較抽中的數y和

$\Z$

中全部的元素的時候，必定找到x=y，同時有x-1y。這個情況下猜y較大還是較小才有更高的勝率呢？

知乎使用者2021-12-14 21:28:10

好像是對的。下面舉一個例子。

為了方便表示正態分佈的機率，記

$\Phi(x)=P(X\le x)$

，其中

$X\sim N(0,1)$

。

設提問者從

$\{1,2,3\}$

中（等機率地）隨機取兩個不同數作為

，再等機率地展示這兩數之一（記為

），問

是大數還是小數。

按題主的策略，作獨立隨機變數

$X\sim N(0,1)$

，然後比較

與

的大小，若

大則猜小，

小則猜大（相等的機率其實為0，不過為了完整，不妨在相等時也猜小）。下面計算該策略的正確率：

有

的機率

，此條件下策略的正確率=

$P(X\ge1\,\and\,a=1)+P(X<2\,\and\,a=2)=(1-\Phi(1)+\Phi(2))\times50\%$

有

的機率

，此條件下策略的正確率=

$P(X\ge2\, \and\,a=2)+P(X<3\,\and\,a=3)=(1-\Phi(2)+\Phi(3))\times 50\%$

有

的機率

，此條件下策略的正確率=

$P(X\ge1\,\and\,a=1)+P(X<3\,\and\,a=3)=(1-\Phi(1)+\Phi(3))\times50\%$

合起來，策略的正確率為

$(1-\Phi(1)+\Phi(2))\times50\%\times1/3+(1-\Phi(2)+\Phi(3))\times50\%\times1/3\\+(1-\Phi(1)+\Phi(3))\times50\%\times1/3\\=50\%+(\Phi(3)-\Phi(1))/3\quad>50\%$