物理系學生如何系統自學數學？

史詩生物2022-10-25 04:37:15

跟量子場論一樣，弦論本體用得比較多是複變函式和特殊函式。子方向拓撲弦論會需要代數幾何、復幾何來分析和描述 target space。全息需要解偏微分方程來找引力對偶。超對稱場論會涉及微分幾何、代數拓撲的基本知識。

但是，除開某些具體題目特殊需求，

普遍的情況是這些主體、子方向的主體都不需要很多（更不需要深）數學

，更重要的是把問題簡化、動手算。

因此

0. 各個子方向所需要的數學不一樣，系統學是不現實的，而且學了也沒什麼用。

1。 需要的零散知識散落在幾個較為固定組合

微分幾何、代數拓撲、辛（切觸）幾何、李群：流形、（上）同調群、同倫群、向量叢、指標定理、

複變函式、偏微分方程 ：亞純函式積分及技巧、級數展開、方程奇點分析、特殊函式

黎曼幾何、偏微分方程：常見時空幾何、黑洞解等

代數幾何、復幾何、辛幾何：代數簇、除子、Calabi-Yau、toric 流形、奇點的 resolution

群表示論：Highest weight rep，Dynkin diagram，Young-tableaux

2。 各個組合主要用在（

用得都不深，通常也就用到“概念/定義”就到底了，

剩下的就是動手算；拓撲弦論除外）

微分幾何、代數拓撲等：超對稱規範場論

複變函式、偏微分方程：弦論本體，共形場論以及 q-deformation 或者 elliptic-deformation

黎曼幾何、偏微分方程：全息、黑洞、糾纏熵

代數幾何、復幾何、辛幾何：拓撲弦論、Seiberg-Witten curves、弦緊緻化、probe brane

群表示論：超對稱場論、共形場論

3。

特別注意不要學太多

。比如學同調群，熟悉基本概念和幾個例子

、

、

就差不多了，如果再學“怎麼計算其他更復雜的流形的同調群”那就超額了。

最好是根據當前感興趣的物理問題的需要學，邊學邊用。也可以收集各方面的書籍、講義，泛讀一下，目的是

瞭解各個名詞在什麼數學領域，以後碰到可以快速 google

。

4. 如果就是對某些數學問題感興趣，多學無妨。但不要指望在物理研究能用得著。