非標準分析第四節-基礎拓撲

作者：由 Yuz.Scarlet 發表于書法時間：2020-12-05

本節令

$X\subseteq M$

。與上一篇一樣，對於

的元素

，或者

上的對映

，關係

，不引起誤解的情況下將

分別簡記為

。

拓撲是集合上的一種連續性關係。一般用開集族定義，但是也常有使用極限語言的定義。但是本系列的重點在非標準分析體系下的拓撲語言。

本節中的重要概念是

單子

。因為一般的

拓撲空間

不是加法群，所以無法定義“

無窮小

”的概念，而單子就是無窮小在拓撲空間內的替代概念。

拓撲空間

對於集合

，如果集合族

$\mathscr O\subseteq \mathscr P(X)$

滿足以下的三個條件，則稱其為

上的一個拓撲：

$\{\emptyset,X\}\subseteq \mathscr O$

；

如果

$\{A,B\}\subseteq \mathscr O$

，那麼

$A\cap B\subseteq \mathscr O$

；

如果

$\Lambda$

是一個指標集，

$\{A_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}\subseteq \mathscr O$

，那麼

$\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\in \mathscr O$

。

簡單地說，

$\mathscr O$

是

的子集構成的集合，它包含了

空集

和

全集

，對

有窮交運算

封閉，對

並運算

封閉。這時，稱

$\mathscr O$

的元素為

的

開集

。

稱開集的補集為

閉集

，記為

$\mathscr U$

。自然地，閉集族滿足的公理與開集族類似：

$\{\emptyset,X\}\subseteq \mathscr U$

；

如果

$\{A,B\}\subseteq \mathscr U$

，那麼

$A\cup B\subseteq \mathscr U$

；

如果

$\Lambda$

是一個指標集，

$\{A_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}\subseteq \mathscr U$

，那麼

$\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\in \mathscr U$

。

這裡就不過多探討閉集與開集的直觀含義了。大致上抱有開集不包含邊界，閉集包含全部邊界的感覺即可。

定義4.1

，對於

$x\in X$

，記

$\mathscr O_x$

表示

的開鄰域集族。

$\mathscr O_x=\{O\in \mathscr O:x\in O\}$

。

定義4.2

，對於

$x\in X$

，記

$\mu(x)=\bigcap _{O\in(\mathscr O_x)^*}O$

表示

的

單子

。

定義4.3

，對於

$x\in X$

，如果

$y\in \mu(x)$

則記

$x\approx y$

。注意，在這個定義中左側始終是標準元，而右側是非標準元。

注意到

$x\in \mu(x)$

始終成立。並且，根據共起性定理，如果我們考慮

$\mathscr O_x$

在

包含關係

下構成的偏序集，由於

$\mathscr O_x$

對有窮交封閉，所以存在某個

$O\in (\mathscr O_x)^*$

，使得

$O\subseteq \mu(x)$

。

命題4.4

，集合

$Y\subseteq X$

是開集當且僅當對於任意

$y\in Y$

，都有

$\mu(y)\subseteq Y^*$

。集合

$Y\subseteq X$

是閉集當且僅當對於任意

$y\in X$

，如果

$\mu(y)\cap Y^*\neq \emptyset$

，那麼

$y\in Y$

。

設

是開集，

$y\in Y$

，那麼自然有

$\mu(y)\subseteq Y^*$

。

設

$\mu(y)\subseteq Y^*$

對每個

$y\in Y$

成立，那麼存在某個

$O\in (\mathscr O_y)^*$

使得

$O\subseteq \mu(y)\subseteq Y^*$

，於是命題

$\lceil (\exists O\in \mathscr O_y)(O\subseteq Y)\rfloor$

是真命題，從而有

滿足條件。此時

$Y=\bigcup_{y\in Y} O_y$

是開集。

是閉集當且僅當

的補集是開集，當且僅當如果

$y\not\in Y$

則

$\mu(y)\cap Y^*=\emptyset$

，當且僅當如果

$\mu(y)\cap Y^*\neq \emptyset$

則

$y\in Y$

。

近點

，遠點，緊緻性

設

$x\in X^*$

，如果存在

$y\in X$

使得

$y\approx x$

，則稱

是

近點

，否則稱

遠點

。

在標準拓撲語言中，我們定義一個集合是緊集當且僅當任意開覆蓋有有窮子覆蓋。在非標準分析中，

$Y\subseteq X$

是緊集當且僅當

僅包含近點。

命題4.5

，以上的定義等價。

設

緊緻。

如果

是遠點，那麼對於任意

$x\in X$

，都有

$y\not\in \mu(x)$

，因此根據

$\mu(x)$

的定義，存在

的開鄰域

使得

$y\not\in O_x^*$

。

$\{O_x\}_{x\in X}$

構成

的開覆蓋，因此存在有窮子覆蓋

$\{O_{x_1},...,O_{x_n}\}$

。

然而

$y\not\in O_{x_1}^*\cup...\cup O_{x_n}^*$

，因此

$O_{x_1}^*\cup...\cup O_{x_n}^*\neq X^*$

是假命題。

注意到這是命題

$\lceil O_{x_1}\cup...\cup O_{x_n}=X\rfloor$

在非標準域內的解釋，因此根據傳達原理，這與

$O_{x_1}\cup...\cup O_{x_n}=X$

矛盾。

設

不緊緻，那麼存在一個開覆蓋

$\{O_x\}=\mathscr A$

使得它沒有有窮子覆蓋。

考慮

$\mathscr A$

的所有有窮子族在被包含關係下構成的偏序集

$\mathscr B$

，此時由共起性定理，可知存在

$B\in \mathscr B^*$

，使得

$\mathscr A\subseteq B$

。

我們知道

$\mathscr B$

的每個元素都不構成覆蓋，所以

$\mathscr B^*$

的每個元素也不構成覆蓋。特別地，

不構成覆蓋。

我們假設

$y\in X^*$

沒有被

覆蓋，此時由於

$\mathscr A$

覆蓋了

，所以

也覆蓋了

，並且因為

是開集構成的集族，所以對於每個

$x\in X$

都有

$\mu(x)\subseteq \bigcup_{b\in B} b$

。

換言之，

$y\not\in \mu(x)$

對所有

$x\in X$

成立，從而

是遠點。

拓撲空間之間對映的連續性

本段我們設

$X,Y\subseteq M$

是兩個拓撲空間，分別有拓撲

$\mathscr O_X$

和

$\mathscr O_Y$

。

令

$f:X\to Y$

是函式，如果對於每個

$O\in \mathscr O_Y$

都有

$f^{-1}(Y)\in \mathscr O_X$

，那麼稱

是

連續對映

。

命題4.6

，

連續當且僅當對於任意

$x\in X$

與

，如果

$x\approx x$

則

$f(x)\approx f(x$

。

設

連續，任取

$x\in X$

，令

滿足

$x\approx x$

。

對於每一個

的開鄰域

，它的逆像

$f^{-1}(O)$

是

的

鄰域

，由於

，所以總有

，因此

。

設對於任意

$X\ni x\approx x$

都有

$f(x)\approx f(x$

。

對於任意開集

與

$x\in f^{-1}(O)$

，因為

$f(\mu(x))\subseteq \mu(f(x))$

，所以

$\mu(x)\subseteq f^{-1}(\mu(f(x)))\subseteq f^{-1}(O^*)$

。

我們知道存在開集

滿足

，這說明

。

綜上，

$\lceil (\exists O$

在

$M_\infty^*$

中是真命題，從而根據傳達原理在

$M_\infty$

中也是真命題。這說明了

$f^{-1}(O)$

是開集。

直積拓撲

本段我們設有指標集

$\Lambda\subseteq M$

，對於每個

$\lambda\in \Lambda$

，

$X_\lambda\subseteq M$

是一個拓撲空間，其上的拓撲為

$\mathscr O_\lambda$

。

我們定義

$\prod _{\lambda\in\Lambda}X_\lambda$

為由所有滿足

$f(\lambda)\in X_\lambda$

的對映

$f:\Lambda\to \bigcup_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$

構成的空間。其上的拓撲是使得所有

投影對映

$\pi_\gamma:\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda\to X_\lambda;f\mapsto f(\gamma)$

連續的

最弱拓撲

。注意到，這個拓撲下一個集合是開集當且僅當其可表示為形如

$\pi_\gamma^{-1}( O)$

的集合的並集，其中

$\gamma\in \Lambda$

而

$O\in \mathscr O_\gamma$

。

命題4.6

，在直積拓撲中，設

$f\in \prod_{\lambda\in \Lambda} X_\lambda$

而

$g\in\left( \prod_{\lambda\in \Lambda} X_\lambda\right)^*$

，那麼

$f\approx g$

當且僅當

$f(\lambda)\approx g(\lambda)$

在拓撲

$\mathscr O_\lambda$

下對所有

$\lambda\in \Lambda$

成立。

留作習題。

提示：設

$O\subseteq \prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$

是開集，此時對於每個

$f\in O$

，總存在有限個

$\lambda_1,...,\lambda_n\in \Lambda$

以及

$O_{\lambda_1}\in \mathscr O_{\lambda_1},...,O_{\lambda_n}\in \mathscr O_{\lambda_n}$

，使得

$f\in \pi_{\lambda_1}^{-1}(O_{\lambda_1})\cap...\cap\pi_{\lambda_n}^{-1}(O_{\lambda_n})\subseteq O$

。

接下來的定理是

基礎拓撲

裡的一個重要定理，它斷言任意多個緊集的直積是緊的。它的證明並不平凡，通常的證明需要使用複雜的網和濾子語言，跨越數個引理才能完成。但是非標準分析透過

哥德爾完全性定理

（共起性定理）內涵了網和濾子的大量結論，因此只需要數行就能完成。

定理4.7（吉洪諾夫定理）

，設

$X_\lambda$

分別是緊集，那麼

$\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$

是緊集。

只需要證明

$\left(\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda\right)^*$

的每個點都是近點即可。

令

$g\in \left(\prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda\right)^*$

，對於每個

$\lambda\in \Lambda$

，由於

$X_\lambda$

緊，所以

$g(\lambda)\in X_\lambda^*$

是近點，這也就說明存在某個

$f_\lambda\in X_\lambda$

，使得

$f_\lambda\approx g(\lambda)$

。

定義

$f(\lambda)=f_\lambda$

，那麼

$f\in \prod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$

並且

$f(\lambda)\approx g(\lambda)$

對所有

$\lambda\in\Lambda$

成立，這說明了

是近點。證畢。

習題

稱一個拓撲空間是

豪斯道夫

的，當且僅當對於每對

$x\neq y$

，總存在

的開鄰域

，與

的開鄰域

，滿足

$O_x\cap O_y=\emptyset$

。在非標準分析語言下，豪斯道夫性等價於什麼？

提示：考慮單子。

對於

實數空間

，定義其上的開集由開區間的並集生成。驗證本節中定義的

$x\approx y$

與第二節定義的

$x\approx y$

一致（在

$x\in \mathbb R$

而

$y\in\mathbb R^*$

的條件下）。

對於拓撲空間

與它的子集

，定義

上的相對拓撲滿足

是開集當且僅當存在

的開集

使得

。證明，實數的子集是緊的當且僅當它是有界的閉集。

提示：使用第二節的結論。

標簽：拓撲開集當且定義對於

上一篇:2021年十款高性價比女生款手錶推薦||高氣質高顏值時尚女生款手錶推薦指南（女生款手錶選購實用乾貨）

下一篇：DL：常用最最佳化演算法

非標準分析第四節-基礎拓撲

猜你喜歡

HTML標籤（包括空元素、可替換元素）

[數學物理]-δ函式

點集拓撲（1）

怎樣證明(Q當P）且（R當Q）邏輯上等價於（R當P）且[（P當且只當Q）或（R當且只當Q）]？

實分析|筆記整理（1）——概念引入，外測度