[數學物理]-δ函式

作者：由張稀檜發表于體育時間：2020-08-04

本文旨在總結δ函式相關的定義/性質，持續補充ing……

定義 I

在最經典的表述方法下，δ函式被定義為：

$\delta(x-x_0)= \begin{cases} \infty&x=x_0\\ 0&x\ne x_0 \end{cases}\\$

且

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx=1\\$

這樣定義的δ函式是最簡潔且最符合物理直覺的一種方法，它很自然地讓人們聯想到

機率分佈

、

點源

以及

脈衝

。譬如，在三維歐氏空間中，一個點電荷分佈可以被描述為

$q\delta(\bold r-\bold r_0)$

；在電訊號中，一個理想情況下的脈衝訊號可以被描述為

$k\delta(t-t_0)$

。同時，δ函式作為一個廣義函式，其本身的性質由於極限性的緣故變得十分獨特，如果我們順著定義I來研究它，將得到一些有趣的數學性質。

性質 I

1。0 正交性

$x\delta(x)=0\\$

[證]

：由定義，顯然。

此條性質將被運用於計算座標的本徵函式（δ函式）的正交歸一性上。

它還給出了1。0*：若存在兩個函式

與

滿足

，則有

$f=g+c\delta(x)$

1。1 篩選性

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\\$

[證]

：由於δ函式本身的極限性質，顯然有

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}f(x)\delta(x-x_0)\text dx\\$

在很小區間

$(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$

中，

的值可以被

$\overline{f(x)}|_{x\in(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)}=f(x_0)$

代替。

於是原積分

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}\delta(x-x_0)\text dx=f(x_0)\\$

證畢#

非常直觀地，δ函式的這個性質使它具備了對於任意函式的

篩選功能

，此性質同時也是其他性質的基礎。

1。2 奇偶性

$\delta(x)=\delta(-x)\\$

[證]

：設函式

$f_1(x)=\delta(x-x_1)$

，函式

$f_2(x)=\delta(x-x_2)$

，考慮以下積分：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx\\$

用兩種不同的方式計算此積分，並利用性質1。1，有

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_1)f_2(x)\text dx=f_2(x_1)=\delta(x_1-x_2)\\$

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(x)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)\delta(x-x_2)\text dx=f_1(x_2)=\delta(x_2-x_1)\\$

那麼顯然

$\delta(x_1-x_2)=\delta(x_2-x_1)\\$

證畢#

此條性質表明δ函式是一個偶函式，這在一些涉及它的積分運算中非常有用。

1。3 伸縮性

$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\$

[證]

：考慮

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)\text d(ax)=1$

，以及

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx=1$

，

稍作變換並聯立，有

$a\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)\text dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\text dx\\$

由於δ函式非負且為偶函式，而被積函式應恆等，故顯然：

$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)\\$

證畢#

此條性質也可看做奇偶性的推廣（a=1）。

1。4 自身篩選性

本條性質是根據篩選性應用到δ函式自身而自然得出的。

它可以具體地寫為：

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-a)\delta(x-b)\text dx= \begin{cases} \infty&a=b\\ 0&a\ne b \end{cases}\\$

於是，還有性質1。4*：

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x-a)\text dx=\infty\\$

1。5 延時性

$\delta(x-a)*f(x)=f(x-a)\\$

[證]

：考慮δ函式與

的

卷積

：

$\begin{align} \delta(x-a)*f(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\delta(x-a-\xi)\text d\xi\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi)\delta(\xi-(x-a))\text d\xi\\ &=f(x-a) \end{align}\\$

這直觀地給出了

延時

的操作。

證畢#

而1。5*給出兩個δ函式的卷積：

$\delta(x-a)*\delta(x-b)=\delta(x-(a+b))\\$

1。6 點源

δ函式滿足一類最簡單的泊松方程：

$-\nabla^2\varphi=4\pi q\delta(\bold r-\bold r_0)\\$

由此得出一個向量分析的恆等式

$\nabla·\frac{\bold r}{r^3}=-\nabla^2\frac{1}{r}=4\pi\delta(\bold r-\bold r_0)\\$

定義 II

在歷史上，δ函式並不是作為一個廣義函式被首先提出，而是作為在解決傅立葉變換問題時自然引出的一個輔助函式被提出。傅立葉在《熱分析理論》（Théorie analytique de la chaleur）一書中，考慮了以下積分：

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\alpha f(\alpha)\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\omega\cos[\omega(x-\alpha)]\\$

此積分用現代傅立葉變換的指數語言來描述，即為：

$\begin{align} f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\omega e^{i\omega x}\int_{-\infty}^{+\infty}\text d\alpha f(\alpha)e^{-i\omega\alpha}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\text d\omega \end{align}\\$

柯西后來指出，若將積分的計算順序改變（不影響結果），那麼將得到另外一種形式：

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega]f(\alpha)\text d\alpha\\$

在這裡能夠清晰地看到，

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega$

作為一個特殊的函式獨立出來，它正是起到

「篩選」

的作用（算上歸一化常數）。那麼，這個函式可以被定義為：

$\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega(x-\alpha)}\text d\omega\\$

有趣的是，若我們根據定義I計算δ函式的傅立葉變換（它顯然滿足絕對可積條件，而同時它又是和Dirichlet條件是自洽的，這在下文會詳細討論），那麼有：

$\mathcal{F}[\delta(x-x_0)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)e^{-i\omega x}\text dx=e^{-i\omega x_0}\\$

顯然，當

時，

$\mathcal{F}[\delta(x)]=1$

，即δ函式的傅立葉變換為常函式1。

於是，可以寫出反傅立葉變換：

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega x}\text d\omega\\$

這和我們剛才得出的結論是完全等價/自洽的。上式便是δ函式的第二種定義。

性質 II

根據定義II，我們有能力繼續探討δ函式的其他三大性質。

2。0 輔助函式/初生δ函式

δ函式定義I的兩大特徵給予我們一個靈感：

是否存在其他的一些經典函式，它們雖然不作為廣義函式，但能夠在某些極限情況下自然過渡到δ函式？

在同一定義域

$(-\infty,+\infty)$

上，我們取一個由引數

$\alpha$

描述的函式

$f_\alpha(x)$

，它滿足以下兩條類δ函式性質：

i）

$f_\alpha(x)_{max}=f_\alpha(0)$

ii）

$\int_{-\infty}^{+\infty}f_\alpha(x)\text dx=1$

以及過渡性質：

iii）

$\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f_\alpha(0)=\infty$

那麼，我們有充足的理由相信：

$\lim_{\alpha\rightarrow\alpha_0}f_\alpha(x)=\delta(x)$

基於此，我們可以得到大量δ函式的輔助函式，以下僅作為結論給出（均易證）：

$V_\alpha(x)=\frac{\sin\alpha x}{\pi x}$

（sinc函式）

$G_\alpha(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi\alpha}}e^{-\frac{x^2}{\alpha}}$

（高斯核/熱核，它由無限長細杆的熱傳導問題得出）

$L_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{x^2+\alpha^2}$

（泊松核，它由半平面拉普拉斯方程問題得出）

$S_\alpha(x)=\frac{\alpha}{\pi x^2}\sin^2(\frac{x}{\alpha})$

$E_\alpha(x)=\frac{1}{2\alpha}e^{-\frac{|x|}{\alpha}}$

$I_\alpha(x)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{i\frac{\pi}{4}}e^{-i\alpha x^2}$

（此函式在極限情況下每一點都趨於δ函式）

$W_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\alpha}^{+\alpha}e^{i\omega x}\text d\omega$

圖略。

$C_\alpha(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos x+\alpha^2}$

（

$\alpha\in(0,1)$

，此函式的定義域為

$[-\pi,\pi]$

，因為這個定義域上它已經是歸一化的了）

2。1 Dirichlet核

Dirichlet核

將作為一個重要的δ函式的輔助函式，用來證明

Dirichlet定理

的

充分性

。

為了引入Dirichlet核，我們考慮以下求和：

$1+2\sum_{i=1}^m\cos ix\\$

利用三角恆等變形：

$\sin\frac{1}{2}x\cos ix=\frac{1}{2}[\sin(i+\frac{1}{2})x+\sin(i-\frac{1}{2})x]$

裂項計算：

$\begin{align} \sin\frac{1}{2}x\sum_{i=1}^m\cos ix&=\sum_{i=1}^m\sin\frac{1}{2}x\cos ix\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m[\sin(i+\frac{1}{2})x+\sin(i-\frac{1}{2})x]\\ &=\frac{1}{2}[\sin(m+\frac{1}{2})x-\sin\frac{1}{2}x] \end{align}\\$

那麼

$1+2\sum_{i=1}^m\cos ix=\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\\$

兩邊同時在

$[-\pi,\pi]$

積分，由於餘弦函式是偶函式，左邊求和符號內積分為0，故有：

$\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\text dx=2\pi\\$

考慮湊成歸一化形式，於是令

$D_m(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}$

，它被稱為

Dirichlet核心(Dirichlet kernel)

，與

$C_\alpha(x)$

類似，它滿足：

i）

$\int_{-\pi}^\pi D_m(x)\text dx=1$

ii）

$\lim_{m\rightarrow\infty}[\lim_{x\rightarrow0}D_m(x)]=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}(2m+1)=\infty$

故

為δ函式的一個輔助函式，

$\lim_{m\rightarrow\infty}D_m(x)=\delta(x),\;\;\;x\in[-\pi,\pi]$

。

我們還可以考慮另一個Dirichlet核，Diirichlet倍核，它是

$B_m(x)=2D_m(x),\;\;\;x\in[0,\pi]\\$

顯然它在非對稱區間

$[0,\pi]$

上是歸一化的，它的極限同樣是δ函式。

利用這兩個Dirichlet核，我們嘗試證明Dirichlet定理的充分性。在傅立葉分析中，Dirichlet定理被表述為：

若

i）在

$(-\pi,\pi)$

內除有限點外有定義且是單值的；

ii）在

$(-\pi,\pi)$

外是週期為

$2\pi$

的週期函式；

iii）在

$(-\pi,\pi)$

內分段光滑，即它和它的一階導數

在

$(-\pi,\pi)$

內分段連續，

則

的傅立葉級數

$a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

收斂於

i）

，若

為連續點；

ii）

$\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$

，若

為第一類間斷點。

我們需要考慮的是傅立葉級數收斂性在連續點和第一類間斷點都是符合Dirichlet定理的，一個非常好的思路是將級數以部分和的形式帶入計算，最後將求和上限的引數取極限到正無窮，可以想象，取極限的過程正是積分內δ函式的輔助函式過渡為δ函式的過程。

[證]

：下面給出一種簡略的證法。

首先給出傅立葉級數的部分和：

$F_m(x)=a_0+\sum_{n=1}^m(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

係數分別為：

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos nt\text dt$

；

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\text dt$

；

$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\text dt$

帶入後並應用和差角公式與Dirichlet核心，有

$\begin{align} F_m(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\text dt+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^m\int_{-\pi}^\pi f(t)(\cos nt\cos nx+\sin nt\sin nx)\text dt\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)[1+2\sum_{n=1}^m\cos n(x-t)]\text dt\\ &=\int_{-\pi}^\pi f(t)D_m(x-t)\text dt \end{align}\\$

i）連續點

對於連續點，可以自然地在

處直接取

$m\rightarrow\infty$

，故有

$\begin{align} \lim_{m\rightarrow\infty}F_m(x)&=\lim_{m\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_m(x-t)\text dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\delta(x-t)\text dt\\ &=f(x) \end{align}\\$

ii）第一類間斷點

$\begin{align} F_m(x)&=\frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt]\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{0}f(x+t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt\\ &=\int_{0}^{\pi}f(x+t)D_m(t)\text dt+\int_{0}^{\pi}f(x-t)D_m(t)\text dt\\ &=\frac{1}{2}[\int_0^\pi f(x+t)B_m(t)\text dt+\int_0^\pi f(x-t)B_m(t)\text dt]\\ \end{align}$

透過在間斷點兩側拆分積分，我們自然地引入了Dirichlet倍核，於是可以方便地在間斷點處取極限：

$\lim_{m\rightarrow\infty}F_m(x)=\frac{1}{2}[\int_0^{\pi}f(x+t)\delta(t)\text dt+\int_0^{\pi}f(x-t)\delta(t)\text dt]=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}\\$

證畢#

2。2 δ函式與連續譜本徵函式

2.2.1 座標算符的連續譜本徵函式

座標的本徵方程：

注意到性質1。0：

$x\delta(x)=0$

，顯然

$\delta(x-x$

滿足本徵方程，即

同時，本徵函式δ函式滿足

正交歸一性

，即

$\langle x$

且滿足

完備性

，即任意一個連續函式可按照座標算符的本徵函式集展開：

$f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x$

在座標表象中，幾個力學量的矩陣表示為：

$\langle x$

$\begin{align} \langle x$

2.2.2 動量算符的連續譜本徵函式

動量的本徵方程：

和座標算符一樣，它也滿足正交歸一性：

$\langle p$

若基於動量的一般本徵函式

$\psi_p(x)=ce^{\frac{ipx}{\hbar}}$

，根據正交歸一性可以得出歸一化常數為

$c=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\\$

對於動量本徵函式的完備性，考慮

的傅立葉變換：

$f(x)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}F(p)e^{\frac{ipx}{\hbar}}\text dp\\$

帶入

$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{ipx}{\hbar}}$

，有按照動量算符的本徵函式集展開的

：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}F(p)\psi_p(x)\text dp\\$

而對於δ函式，它的展開即為：

$\delta(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_p(x)\text dp\\$

對於動量表象下的力學量，只需要將座標表象下的δ函式內的座標換為動量，將δ函式外的座標換為

。

定義 III

δ函式被定義為

階梯函式

的導函式。

階梯函式：

$\theta(x)= \begin{cases} 1&x>0\\ 0&x<0 \end{cases}$

從更廣義的角度來看，對一個非連續函式在間斷點處取微分，都可以得到

類δ函式

（區域性相似）。

考慮積分：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\theta$

對它進行分部積分操作：

$\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\theta$

由被積函式處處相等可得到上述結論。

性質 III

由定義III，δ函式在半經典熱統裡有著重要的意義，它在離散的求和轉化為連續的積分時透過對階梯函式求導而出現（它與能級有關）。

在熱統中，

是宏觀層面上對“無窮小”量的描述，但是在微觀層面

量級上，能級非常稠密，

實際上包含了很多層能級。因此在求和的過程中，完全可以取相空間上的一個狀態點

$\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}$

來用積分替換狀態求和。在引入態密度

$D(\varepsilon)$

時：

$\begin{align} d\sum_{態}A(\bold p,\bold r)\Leftrightarrow D(\varepsilon)d \varepsilon&=\int_{\varepsilon\leq H<\varepsilon+d\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\&=\int_{H<\varepsilon+d\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} -\int_{H<\varepsilon}\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\theta(\varepsilon+d\varepsilon-H)\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}-\int\theta(\varepsilon-H)\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\frac{d\theta(\varepsilon-H)}{d\varepsilon}d\varepsilon\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\int\delta(\varepsilon-H)d\varepsilon\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3} \end{align}\\$

利用這一點可以去嘗試求一些簡單的態密度函式。

例如經典情況下：

$H=\frac{p^2}{2m}$

經典情況下多粒子態密度函式為：

$\begin{align} D(E)&=\frac{1}{N!h^{3N}}\int\delta(E-\frac{p^2}{2m})\text {d}^N\bold{p_i}\text {d}^N\bold {r_i}\\ &=\frac{V^N(2m)^{3N/2}}{N!h^{3N}}\int\delta(E-p$

其中

$k_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\\$

而在非極端相對論情況下（

$H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$

），我們需要證明δ函式的另一個性質。

1。6 複合δ函式

對於一些只有單根的

$\psi(x)$

，若記它的根為

，滿足：

i）

$\psi(x_i)=0$

ii）

$\psi$

則

$\delta[\psi(x)]=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|\psi$

[證]

：很顯然，只有在

$\psi(x)=0$

時，即取那些單根

時，

$\delta[\psi(x)]$

才不為0，那麼可以將其展開為

$\delta[\psi(x)]=\sum_ia_i\delta(x-x_i)\\$

對於展開係數

，考慮積分

$\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx=\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\frac{\text d\psi(x)}{\psi$

利用微分中值定理，並令

$\varepsilon\rightarrow 0$

，有：

$\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx=\frac{1}{\psi$

又左式可以寫為：

$\begin{align} \int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\delta[\psi(x)]\text dx&=\int_{x_j-\varepsilon}^{x_j+\varepsilon}\sum_ia_i\delta(x-x_i) \text dx\\ &=\sum_ia_i\delta_{ij}\\ &=a_j \end{align}\\$

再做換元

$j\rightarrow i$

，有：

$a_i=\frac{1}{\psi$

i）若

$\psi$

，則

$\psi(x_i-\varepsilon)<\psi(x_i+\varepsilon)$

那麼顯然，

$a_i=\frac{1}{\psi’(x_i)}$

ii）若

$\psi$

，則

$\psi(x_i-\varepsilon)>\psi(x_i+\varepsilon)$

那麼，更換積分上下限，有

$a_i=-\frac{1}{\psi$

綜上，展開係數

$a_i=\frac{1}{|\psi$

，在乘上

$\delta(x-x_i)$

並求和過程中，等價於

$\frac{1}{|\psi$

。

證畢#

根據這條性質，我們有：

$\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}[\delta(x-a)+\delta(x+a)]\\$

$\delta(\sin x)=\sum_k\frac{\delta(x-k\pi)}{|\cos x|}\\$

$\delta(\cos x)=\sum_k\frac{\delta[x-(k+\frac{1}{2})\pi]}{|\sin x|}\\$

基於此，給出非極端相對論情況下的單粒子態密度函式：

$\begin{align} D(E)&=\iint\delta(E-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4})\frac{\text d\bold p\text d\bold r}{h^3}\\ &=\frac{V}{h^3}\int\delta(E-\sqrt{p^2c^2+m^2c^4})4\pi p^2\text dp&[\delta(\sqrt x-a^2)=2\sqrt x\delta(x-a^4)]\\ &=\frac{4\pi V}{h^3}\int2\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\delta(p^2c^2+m^2c^4-E^2)p^2\text dp&[\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta x]\\ &=\frac{8\pi V}{h^3}\int\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}\delta[p^2-(\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2)]p^2\text dp&[\delta(x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}\delta(x-a),x>0]\\ &=\frac{4\pi V}{h^3}\int\delta(p-\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2})p\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}\text dp&[f(p)=p\sqrt{\frac{p^2}{c^2}+m^2}]\\ &=\frac{4\pi V}{c^3h^3}E\sqrt{E^2-m^2c^4} \end{align}$