關於世界基數

因為總有人問及關於這個基數的問題，這裡做一個註記。

定義：

一個基數

是worldly cardinal，如果

。

我並不知道這個基數是誰提出的，這裡只是做出一些解釋。下面的結果應該都是已知的，但是我沒有去找參考文獻。我們用

表示workdly cardinal。下面的命題是顯然的。

命題 1：

ZFC+

WC

Con（ZFC+Con（ZFC））。

由Godel不完備性， ZFC+Con（ZFC）不能證明

WC。 同樣Con（ZFC+

WC）也不是ZFC+Con（ZFC）能證明的。

我們用I表示不可達基數。顯然每一個不可達基數都是WC，因此：

命題

2： ZFC+

WC。

但是最小的WC嚴格小於最小的I。

命題3

：如果

是不可達的，則存在世界基數

。

證明：

假定

不可達，有Skolem定理（及其構造方法），存在可數模型

以及

使得

。一般地，對於任意

，

以及

使得

， 存在模型

使得

並且

。

令

。顯然

。因而有模型論基本知識，

。有構造，我們知道

。因此

從而是ZFC的模型。因而

是WC。

由命題3， 我們有以下推論：

推論3.1:

ZFC+

I

Con（ZFC+

WC）。

因此WC的協調性強度是嚴格弱於不可達基數的。由命題3的證明，我們可以推斷最小的世界基數具有共尾性

。

還有人提及以下定義：

定義2：

一個序數

是可擴的，如果存在

使得

。

我們用EC表示可擴基數。顯然命題3中的

就是可擴的。並且可以構造在

下另外一個

使得

。 @ZS Chen 在評論裡提到了Joel Hamkins給了關於可擴基數的比較完整的描述（The otherwordly cardinals）。其中下面這個定理澄清了EC的強度

定理1 (

Hamkins）：EC

WC，並且每一個 EC下面都有一個WC嚴格小於它。

注意雖然不可達基數的強度要嚴格高於存在EC的協調性，但是I

EC。 例如最小的不可達基數不屬於EC。