"每一個ZFC的模型其中都有一個ZFC的模型"
有一個很有趣但是也很令人困惑的事實: 如果(M,E)是一個ZFC的模型, 那麼M中就存在一個物件u和一個u上的二元關係r, 使得
。 特別地, u和r滿足如下條件: 並且如果
,
, 那麼(y,e)是一個ZFC的模型。
這個事實令人困惑是因為這個事實很容易被說成“每一個ZFC的模型其中都有一個ZFC的模型”。 這聽上去就與哥德爾第二不完備定理矛盾了。 因為根據哥德爾第二不完備定理, 如果ZFC存在模型, 那麼就肯定存在某個模型M, 使得M滿足“ZFC不存在模型”。 (這個就是
Con(ZFC)->Con(ZFC+~Con(ZFC))翻譯到模型上的說法)。
而這裡微妙的地方就是“模型裡看”vs“模型外看”的區別。 這個(y,e)在模型外的我們看來是ZFC的模型, 而在M的角度來看未必是ZFC的模型。
首先是比較trivial的事實, 如果(M,E)是一個
-standard的模型, 即M認為的自然數集就是實際上的自然數集, 那麼考慮到(M,E)是ZFC的模型, 所以ZFC是一致的, 而ZFC一致與否是一個自然數上的事實, 所以M也會認為ZFC是一致的。 那麼所以M中自然會有一個ZFC的模型。
同樣道理, (M,E)滿足ZFC+Con(ZFC)的情況也是trivial的。
所以nontrivial的情況是(M,E)滿足ZFC+~Con(ZFC)的情況。
而這個情況的證明也不難, 用到的是反射原則和一些關於非標準自然數的簡單事實。
我們先在現實生活中固定一個ZFC公理的列舉
, 這個列舉可以是比如說根據ASCII碼的大小來排序。 我們知道, 透過編碼, 我們可以在ZFC的語言中寫出一句帶有一個自由變元的語句
, 使得對於任意自然數n (也就是任意一個形如s。。。。s0的算術物件) , 如果
, 那麼n是某條ZFC公理的ASCII碼。
我們先檢查反射原則說的是什麼。 反射原則是一個theorem schema, 它是告訴你, 對於任何滿足條件的公理集, ZFC都能證明關於這個公理集的某些性質。
準確地說,
給定任意自然數n
, 令
為上面對ZFC公理列舉的前n條的conjunction。 那麼我就可以從ZFC公理出發, 給出一個 “
”的證明。
我們可以先考慮 “
”是一句嚴格來說是一個什麼樣的語句。 這是一個在集合論語言
裡面的一階邏輯語句
, 也就是說, 這是一個用上了一個引數
的語句, 其中
是一個自然數。
這個證明將會用到的trick就是, 上文的“
給定任意自然數n
”這裡的n是一個形如s。。。s0的, 理論上來說可以寫在紙上的自然數, 更準確地來說就是標準自然數。
證明:
考慮
。 我們背景上是一直假設ZFC一致的, 因為如果ZFC實際上不一致, 那麼形如“每一個ZFC的模型其中都有一個ZFC的模型”這樣的命題就是vacuously true。 在這個背景假設下, 我們看到M中的自然數一定存在非標準元素。 這是因為M中有一個自然數k, 使得k是一個證明的編碼, 這個證明的開頭是ZFC的公理, 結尾是0=1。 而根據我們背景假設, 這樣一個證明實際上不存在, 也就是說編碼這樣一個證明的k是非標準自然數。
我們考慮M中的上述ZFC公理列舉,
。 因為M認為ZFC不一致, 所以M肯定會認為有一個最小的N, 使得
不存在模型。 而因為反射原則是ZFC的定理, 所以在每一個模型中都成立, 那麼對於每一個標準自然數j, M都會認為
存在模型。 這就告訴了我們N是非標準自然數。
此時我們考慮
。 不難驗證, 如果N是非標準的, 那麼N-1也是非標準的。 而由於M認為N是最小的使得
不存在模型的數字, 那麼M認為
存在模型。 此時令(u,r)為M認為的 “
”的模型。 而由於N-1是非標準自然數, 它會大於所有標準自然數。 這就說明了M會認為(u,r)滿足我們文章開頭的列舉
中的每一項。 那麼此時令
,
, (y,e)就會是一個(在我們看來)ZFC的模型。 而M並不認為(u,r)是ZFC的模型, 因為M可以找到M中ZFC的公理列舉
的某一條
, 使得(u,r)不滿足
。 證明完畢
事實來源:
https://
mathoverflow。net/questi
ons/51754/clearing-misconceptions-defining-is-a-model-of-zfc-in-zfc/51786#51786