ω 是否對所有可數傳遞模型都是絕對的？

徐大二2019-08-28 17:59:42

首先回答標題中的問題：ω 對所有傳遞模型都是絕對的。 這是一個容易證明的事實。 具體證明取決於所使用的定義。 例如定義 ω 為所有有窮序數的集合，那麼只須證明“有窮”及“序數”對傳遞模型都是絕對的即可，具體證明在集合論教材中都可以找到。

與之相對的，僅僅是“可數”模型並不能保證 ω 是絕對的，第三段的論證的問題也正在於此。 對一般的可數模型 M 未必有“所有的自然數都理應屬於 M”。

或問，把論證稍作修改，改用 M 中的可數傳遞模型何如？世上沒有免費的午餐，傳遞模型也無法憑空產生。 事實上，設可數模型 M ⊨ ZFC + “存在不可達基數”， 則 M ⊨ “存在 ZFC 的可數傳遞模型”。 令該模型為 N ∈ M。 問題在於，N 只是在 M 看來傳遞，但由於沒有假定 M 是傳遞模型，“傳遞”這一性質本身不再絕對！於是 N 未必在 V 中傳遞，從而 ω 對 N， 對 M 都未必絕對。 N 中仍然可以有非標準自然數。

最後對前兩段的論證作個補充。 要從“存在不可達基數”推出“存在可數傳遞模型”其實可以更直接。 令

， 則 （N， ∈） ⊨ ZFC。 由下行 Löwenheim——Skolem 定理，存在可數的 M‘ ∈ N 使得 （M’， ∈） ⊨ ZFC。 由於 ∈ 關係顯然是良基、似集合的，而 M‘ ⊨ ZFC 又保證它是外延的，Mostowski 坍塌定理適用，從而我們得到一個可數傳遞模型 M。 事實上 ZFC 只要有一個集合模型 （M， ∈）， 就一定有可數傳遞模型。