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真以為硬解定理秒殺一切？遇到這些問題讓你欲哭無淚

作者：由小猿搜題發表于文化時間：2018-10-15

在上一篇文章的評論區當中，有猿寶提及了一個高中數學中較為敏感和有爭議的話題：硬解定理。今天我們就來談談硬解定理。

在小猿老師眼裡，

硬解定理並不是一個真的定理，而是一個韋達式的速記速算公式

。無論是

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

和

聯立還是

$\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}=1$

和

聯立，硬解定理就是用

或

來表示

、

、

、

以及

$\Delta$

和絃長的表示式，從這個角度來講，

硬解定理和“設直線-聯立-消元-韋達-代入”並沒有本質上的區別

。

硬解定理的優勢就是速度快呀，背過了，可以直接往上套，在“設直線-聯立-消元-韋達-代入”這個流程當中，可以從設直線這一步直接跳到韋達。

但

硬解定理的弊端要遠遠的大於優勢

。首先，硬解定理本質就是利用韋達式解決問題，韋達式解決不了的問題，硬解定理一定解決不了，也即

硬解定理不是萬能的

。其次，硬解定理是（依靠考場外預先進行記憶從而）簡化運算的手段，但對於同一個題目，韋達並不一定是最簡單的方法，在這種情況下，

即使依靠硬解定理也可能會非常的繁瑣

。

而最關鍵的一點，當初為什麼選擇硬解定理？還不是覺得自己計算能力弱，怕考場上算錯或者時間不夠，所以直接背了結果往上寫？

計算能力弱就應該拼命練習計算，提高計算能力，而不是依靠投機取巧的辦法繞過去，越想投機，最後你的計算能力就會越弱

。

話不多說，上題：

已知直線

過橢圓

$\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$

的右焦點

，且與橢圓交於

、

兩點，若

$\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{FB}$

，求

的座標。

這就是一道相當相當經典的高考題。如果我們使用韋達定理，則需要將線段比轉化為座標比。不妨設

、

，根據

可以得到

$\dfrac{y_1}{y_2}=-5$

，這還算一個較為常規的式子，取倒相加可以得到

$-\dfrac{26}{5}=\dfrac{y_2}{y_1}+\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{(y_1+y_2)^2}{y_1y_2}-2$

，代入韋達式解出來

的斜率，從而得到

的直線，再與橢圓方程聯立，解方程得到

的座標。

在上面的過程中，我們實際上聯立消元了兩次（因為硬解定理越過了消元，得到

）之後還是需要消一次元的，即使不寫出具體的過程，其計算量也是可想而知的，但如果直接利用點座標計算的話，就會簡單很多很多。

還是設點座標

和

，右焦點

$F(\sqrt{2},0)$

，根據

$\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{FB}$

，可以得到

$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{2}-x_1=5(x_2-\sqrt{2})\\ 0-y_1=5(y_2-0) \end{array}\right.$

，也即

$\left\{\begin{array}{l} x_1+5x_2=6\sqrt{2}\\ y_1+5y_2=0 \end{array}\right.$

。而我們知道

和

都在橢圓上，所以有

$\dfrac{x_1^2}{3}+y_1^2=1$

和

$\dfrac{x_2^2}{3}+y_2^2=1\Rightarrow\dfrac{25x_2^2}{3}+25y_2^2=25$

，兩式相減得到

$\dfrac{(x_1-5x_2)(x_1+5x_2)}{3}+(y_1-5y_2)(y_1+5y_2)=-24$

，將前面的結果代入到下面的式子當中可以得到

$x_1-5x_2=-6\sqrt{2}$

，這樣與前面

$x_1+5x_2=6\sqrt{2}$

相加立馬就可以得到

，順便就有了

$y_1=\pm 1$

。

什麼？只要硬解能做就硬解？好的，我們來一個硬不起來的。

已知

、

為橢圓

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

長軸上的兩個定點，過

的直線與橢圓相交於

、

兩點，直線

、

分別與橢圓交於

、

兩點。求證：直線

與直線

的斜率之比為定值。

如果非要用韋達定理，不妨設

、

、

、

那就需要三組聯立：

、

、

分別與橢圓聯立，得到

$x_1\sim x_2$

（

$a\sim b$

表示

和

的韋達關係，也即

$a+b=\cdots$

和

$ab=\cdots$

）、

$x_1\sim x_3$

和

$x_2\sim x_4$

從而解出

$x_3\sim x_4$

，縱座標同理，從而得到

$\dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3}$

和

$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

，再比一下得到結果。但是猿寶們應該意識到，

這個時候，題目的計算量已經完全不取決於是否使用硬解定理了，而是取決於方法的選擇

。使用硬解定理，意味著使用韋達定理，而韋達定理並不代表計算量最小的方法，比如剛剛這道題目，設引數方程可能只需要五分之一於韋達法的步驟量就可以解決。

不妨設

$A(a\cos 2t_1,b\sin 2t_1)$

、

$B(a\cos 2t_2,b\sin 2t_2)$

、

$C(a\cos 2t_3,b\sin 2t_3)$

、

$D(a\cos 2t_4,b\sin 2t_4)$

。由於

過點

，所以

$\dfrac{b\sin 2t_2}{a\cos 2t_2-p}=\dfrac{b\sin 2t_1}{a\cos 2t_1-p}$

（斜率相同），整理得

$\tan t_1\tan t_2=\dfrac{p-a}{p+a}$

，同理有

$\tan t_1\tan t_3=\tan t_2\tan t_4=\dfrac{q-a}{q+a}$

，而

$\dfrac{k_{AB}}{k_{CD}}=\dfrac{\tan(t_1+t_2)}{\tan(t_3+t_4)}$

展開之後把上面得到的三個式子代入消元只剩下

$\tan t_1$

，即可整理得到

$\dfrac{k_{AB}}{k_{CD}}=\dfrac{a^2-q^2}{a^2+q^2-2pq}$

。

事實上，還有許許多多題目可以利用其它的方法達到更小的計算量，設點整體代入、設引數方程、曲線系方法、化齊次聯立、頂點弦代換、定比點差法、極座標方法等等都有非常好用的時候。下面再給兩道例題，分別可以使用設點整體代入和定比點差法減小計算量。

1、已知

$A(1,\dfrac{3}{2})$

，

$B(-1,-\dfrac{3}{2})$

在橢圓

$E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$

上，

為直線

$y=-\dfrac{x}{2}$

上的動點，

、

分別與橢圓

交於

、

兩點，求證：直線

的斜率為定值。

2、過

的動直線

與雙曲線

$C:\dfrac{x^2}{3}-y^2=1$

的左右兩支分別交於

、

兩點，線上段

上取不同於

、

的點

，使得

$|AP|\cdot|QB|=|AQ|\cdot|PB|$

，求點

的軌跡。

最後，小猿老師再總結一下：

1、硬解定理並不是真的定理，只是一組速記速算公式，與韋達定理等價。

2、圓錐曲線問題的計算量大小並不完全取決於是否使用硬解定理，方法的選取更重要，韋達並不是萬能方法。

3、硬解定理雖然在部分題目中確實可以達到減少計算量的效果，但容易因此弱化自身對計算量的訓練，得不償失。

4、點讚的猿寶們都是最棒的。

標簽：硬解定理韋達直線聯立

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