GY1：橢圓的垂徑定理

作者：由風平浪靜發表于體育時間：2022-08-08

『高中生需要知道的圓錐曲線二級結論，百道真題幫你拿下圓錐曲線高考壓軸大題。』

1。1 圓的垂徑定理

垂徑定理：圓

中，如果直徑

過弦

的中點

，則

$AB\bot CD$

。

圖：圓的垂徑定理

1。2 橢圓的垂徑定理

直徑：把過

橢圓中心

的弦稱為橢圓的直徑。

圖：橢圓的垂徑定理

垂徑定理：若橢圓方程為

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

，則

$k_{AB}\cdot k_{CD}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$

。

【證法1.2.1 仿射變換】

設

$X=\frac{x}{a}$

，

$Y=\frac{y}{b}$

。

帶入橢圓方程得

。

這是單位圓的方程，過橢圓中心的直線也過此單位圓的圓心，根據圓的垂徑定理得

$K_{AB}\cdot K_{CD}=-1$

。

根據仿射變換斜率的關係得

$\frac{a}{b}k_{AB}\cdot \frac{a}{b}k_{CD}=-1$

。

即

$k_{AB}\cdot k_{CD}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$

。

$\Box$

【注】此方法對於高中生而言略有超綱，只輔助理解，不建議考試中使用。

【證明1.2.2 點差法】】

點差法：兩點的方程做差

設點

、

的座標為

$\left( x _A,y_A\right)$

、

$\left( x _B,y_B\right)$

。

由於

、

均在橢圓上，則有

$\left\{\begin{matrix} \frac{x_A^2}{a^2}+\frac{y_A^2}{b^2}=1 \\ \frac{x_B^2}{a^2}+\frac{y_B^2}{b^2}=1 \end{matrix}\right.$

。

將上述兩式

做差

（“點差法”名字的由來）

$\frac{x_A^2-x_B^2}{a^2}+\frac{y_A^2-y_B^2}{b^2}=1-1$

。

平方差公式得

$\frac{(x_A+x_B)(x_A-x_B)}{a^2}+\frac{(y_A+y_B)(y_A-y_B)}{b^2}=0$

。

進行適當的變形

$\frac{(y_A+y_B)(y_A-y_B)}{(x_A+x_B)(x_A-x_B)}=-\frac{b^2}{a^2}$

。

左邊分子分母同除以2得

$\frac{\frac{y_A+y_B}{2}}{\frac{x_A+x_B}{2}}\cdot\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} =-\frac{b^2}{a^2}$

。

根據中點公式和斜率公式得

$k_{AB}\cdot k_{CD}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{a^2-c^2}{a^2}=\frac{c}{a}^2-1=e^2-1$

。

$\Box$

【思考】

1。2。1 若橢圓的焦點在

軸上，結論還成立嗎？

【習題】

1。2。1

習題1。2。2

習題1。2。3

習題1。2。4

習題1。2。5

習題1。2。6

1。3 雙曲線的垂徑定理

直徑：把過

雙曲線中心

的弦稱為雙曲線的直徑。

圖：雙曲線的垂徑定理

垂徑定理：若雙曲線方程為

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

，則

$k_{AB}\cdot k_{OH}=+\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$

。

【證明1.3.1 點差法】

點差法：兩點的方程做差

設點

、

的座標為

$\left( x _A,y_A\right)$

、

$\left( x _B,y_B\right)$

。

由於

、

均在雙曲線上，則有

$\left\{\begin{matrix} \frac{x_A^2}{a^2}-\frac{y_A^2}{b^2}=1 \\ \frac{x_B^2}{a^2}-\frac{y_B^2}{b^2}=1 \end{matrix}\right.$

。

將上述兩式

做差

$\frac{x_A^2-x_B^2}{a^2}-\frac{y_A^2-y_B^2}{b^2}=1-1$

。

平方差公式得

$\frac{(x_A+x_B)(x_A-x_B)}{a^2}-\frac{(y_A+y_B)(y_A-y_B)}{b^2}=0$

。

進行適當的變形

$\frac{(y_A+y_B)(y_A-y_B)}{(x_A+x_B)(x_A-x_B)}=+\frac{b^2}{a^2}$

。

左邊分子分母同除以2得

$\frac{\frac{y_A+y_B}{2}}{\frac{x_A+x_B}{2}}\cdot\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} =+\frac{b^2}{a^2}$

。

根據中點公式和斜率公式得

$k_{AB}\cdot k_{CD}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2-a^2}{a^2}=\frac{c}{a}^2-1=e^2-1$

。

$\Box$

【思考】

1。3。1 若

、

兩點在雙曲線的同一支上，結論還成立嗎？

圖：雙曲線的垂徑定理

1。3。2 若雙曲線焦點在

軸上，結論還成立嗎？

1。4 拋物線的“半”垂徑定理

無心曲線：橢圓和雙曲線有中心，但是拋物線沒有中心。將橢圓和雙曲線統稱為有心曲線，拋物線為無心曲線。

圖：拋物線的垂徑定理2

垂徑定理1：若雙曲線方為

，則

$y_H\cdot k_{AB}=p$

。

【證明1.4.1】

設點

、

的座標為

$\left( x _A,y_A\right)$

、

$\left( x _B,y_B\right)$

。

由於

、

均在拋物線上，則有

$\left\{\begin{matrix} y_A^2=2px_A \\ y_B^2=2px_B \end{matrix}\right.$

。

將上述兩式

做差

。

平方差公式得

。

進行適當的變形

$\frac{y_A+y_B}{2}\cdot\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=p$

。

根據中點公式和斜率公式得

$y_H\cdot k_{AB}=p$

。

$\Box$

圖：拋物線的"；半"；垂徑定理1

垂徑定理2：若雙曲線方程為

，則

$x_H=p\cdot k_{AB}$

。

【證明1.4.2】

設點

、

的座標為

$\left( x _A,y_A\right)$

、

$\left( x _B,y_B\right)$

。

由於

、

均在拋物線上，則有

$\left\{\begin{matrix} x_A^2=2py_A \\ x_B^2=2py_B \end{matrix}\right.$

。

將上述兩式

做差

。

平方差公式得

。

進行適當的變形

$\frac{x_A+x_B}{2}=p\cdot\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$

。

根據中點公式和斜率公式得

$x_H=p\cdot k_{AB}$

。

$\Box$

【習題】

習題1。4。1

【注】垂徑定理結論較多且較為相似，記憶難度較大。點差法過程較為相似，

點差法

是重點，需要牢記。

標簽：垂徑定理雙曲線橢圓習題

上一篇:男生肛門毛太多怎麼辦，可以刮掉嗎！？

下一篇：二級建造師兼職必須要明白的五大問題

GY1：橢圓的垂徑定理

猜你喜歡

高中數學：等和線（向量解題的利器，三點共線問題的延伸）

圖示製作沒難度，手把手教你用PS製作簡約清新圖示

我想問一下《材料力學Ⅰ 第六版》教材課後答案我找不到?

重讀《視覺SLAM十四講》ch1預備知識

廣東專插本零基礎跨專業考計算機上岸A類經驗分享！！！