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【002】調和分割、斜率成等差數列

作者：由 Dylaaan 發表于書法時間：2019-01-11

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例

已知橢圓

$\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

的右焦點為

，右準線為

$l:x=\frac{a^2}{c}$

，點

$C(c,\frac{b^2}{a})$

在

$\Gamma$

上，過點

的直線交

$\Gamma$

於

和

兩點，交

於

點，則

（1）

$\frac{|FA|}{|AP|}=\frac{|FB|}{|BP|}$

，即

和

被

和

調和分割。

（2）直線

，

，

的斜率成等差數列。

（1）

證明1

設

，

，

$\frac{|FA|}{|AP|}=\frac{|FB|}{|BP|}\Leftrightarrow\frac{|AF|}{|FB|}=\frac{|AP|}{|PB|}$

在直線

上取另一點

，使

$\frac{|AF|}{|FB|}=\frac{|AP$

，下證

與

重合：

由條件知

$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}$

，

$\overrightarrow{AP$

，則

$F(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})$

，又

和

在橢圓

$\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

上，有

$\left\{ \begin{aligned} &\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\\\ &\frac{\lambda^2x_2^2}{a^2}+\frac{\lambda^2y_2^2}{b^2}=\lambda^2 \end{aligned} \right.$

，作差得

$\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{b^2}=(1+\lambda)(1-\lambda)$

$\Leftrightarrow \frac{x_F x_{P$

，又

，

故

$x_{P$

，即

在直線

上，故

與

重合。

證明2

設

，

，

$\frac{|FA|}{|AP|}=\frac{|FB|}{|BP|}\Leftrightarrow |\frac{x_1-c}{\frac{a^2}{c}-x_1}|=|\frac{x_2-c}{\frac{a^2}{c}-x_2}|$

$\Leftrightarrow (\frac{a^2}{c}+c)\cdot(x_1+x_2)-2x_1\cdot x_2-2a^2=0$

，設

聯立

$\left\{ \begin{aligned} &y=k(x-c)\\ &b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\end{aligned} \right.$

得：

由韋達定理：

$\left\{ \begin{aligned} &x_1+x_2=\frac{2a^2k^2c}{a^2k^2+b^2}\\ &x_1\cdot x_2=\frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2} \end{aligned} \right.$

，代入原式得：

$LHS=\frac{2a^2k^2c(\frac{a^2}{c}+c)-2a^2(c^2k^2-b^2)-2a^2(a^2k^2+b^2)}{a^2k^2+b^2}$

$=\frac{2a^2(a^2k^2+k^2c^2-c^2k^2+b^2-a^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}=0$

（2）

證明

作平移變換

$\left\{ \begin{aligned} &x$

得：

，

，

設

，由於

過

，故

$n=-\frac{a}{b^2}$

聯立

$\left\{ \begin{aligned} &mx+ny=1\\ &b^2x^2+2b^2cx+a^2y^2+2b^2ay=0 \end{aligned} \right.$

得：

$b^2x^2+2b^2cx\cdot(mx+ny)+a^2y^2+2b^2ay\cdot(mx+ny)=0$

$\Leftrightarrow (a^2+2b^2an)\cdot(\frac{y}{x})^2+(2b^2am+2b^2cn)\cdot(\frac{y}{x})+(b^2+2b^2cm)=0$

由韋達定理：

$k_{C$

在

中，令

$x=\frac{b^2}{c}$

，

$y=\frac{c-mb^2}{cn}=\frac{b^2(mb^2-c)}{ac}$

故

$k_{C$

，因此

$k_{C$

。

標簽：直線聯立韋達交於重合

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