圓錐曲線第十節：二次點列與二次對合

作者：由質點發表于書法時間：2020-02-05

目錄連結：質點：圓錐曲線題目的三維向量解法

用圓錐曲線張量定義度規後，如果幾個點向量

的模方都是0，那麼它們都在圓錐曲線上。當我們在討論這些點的時候，就把它們叫做二次點列。

重要的是，二次點列可以定義交比，就像直線上的點列一樣。這一定義基於如下的事實：

在二次曲線上任取一點

（不能和a，b，c，d重合），則可以把平面上的每一個點對應為經過那個點與P點的直線。這樣，

也就對應著四條直線。這四條直線在一個一次線束上，我們可以定義它的交比，並作為

的交比。重要的結論是，只要P點在二次曲線上，那麼如此定義的交比與P點的選取無關！！！

我們來證明這個結論。按照我們的語言，如此定義的交比的數學表示式是

$J=\frac{[Pac][Pbd]}{[Pad][Pbc]}$

。為了利用

的條件化簡這個表示式，我們進行一些巧妙的處理。先對這個式子進行平方，得到

$J^2=\frac{[Pac]^2[Pbd]^2}{[Pad]^2[Pbc]^2}$

。

然後，我們要利用線性代數中的重要公式。因為混合積可以寫成行列式的形式，而行列式與矩陣之間滿足關係

$\text{det}(AB)=(\text{det}A)(\text{det}B)$

。因此

$[Pac]^2=det\begin{pmatrix} P\cdot P&P\cdot a&P\cdot c\\ a\cdot P&a\cdot a&a\cdot c\\ c\cdot P&c\cdot a&c\cdot c\\ \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} 0&P\cdot a&P\cdot c\\ a\cdot P&0&a\cdot c\\ c\cdot P&c\cdot a&0\\ \end{pmatrix}=2(P\cdot a)(P\cdot c)(a\cdot c)$

如此改寫後，可以得到

$J^2=\frac{4(a\cdot c)(b\cdot d)(P\cdot a)(P\cdot b)(P\cdot c)(P\cdot d)}{4(a\cdot d)(b\cdot c)(P\cdot a)(P\cdot b)(P\cdot c)(P\cdot d)}=\frac{(a\cdot c)(b\cdot d)}{(a\cdot d)(b\cdot c)}$

將P消去了。

因為

與P無關，而顯然，

應該隨著P連續變化，因此它只能是常數。

現在我們完成了二次點列的定義。但是這一定義並不完美：它似乎沒有涉及到二次點列的本質。對二次點列的本質的討論在很多節以後：見指標分裂與二次嵌入與再談二次點列。目前我們討論二次點列的一般問題是困難的，目前我們只能討論它的一個簡單場景：二次對合問題。

如果

，那麼只能有

，即四條直線調和分割。因為無論P點在二次曲線上怎樣選取，四條連線都是調和的，可以很合理地定義

稱為二次調和點列。二次調和點列的條件可以寫成更簡單的形式：把

$1=\frac{(a\cdot c)(b\cdot d)}{(a\cdot d)(b\cdot c)}$

的分母乘到左邊，再移項到右邊，成為

$0=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$

。而右邊的等式不是別的，正是我們在第三章求過的表示式：

$(a\times b)\cdot (c\times d)$

。因此二次調和點列的條件可以寫成：

$(a\times b)\cdot (c\times d)=0$

。這個式子有明顯的幾何意義。它意味著，直線AB與CD是共軛的；而直線的共軛引出了兩塊內容：1意味著它們互相經過對方的極點，引出了極點極線的知識；2引出了一維的對合變換。

有了

$(a\times b)\cdot (c\times d)=0$

這個漂亮的條件以後，我們可以定義二次曲線上的對合變換。回憶一下，一維的對合變換由兩個不動點

確定，與

構成調和點列的兩個點

互相對合。

二次點列的情景是相似的。

把

固定，在二次曲線上與

構成調和點列的兩個點

稱為互相對合。

兩個點可以用過

的直線

$l=p\times q$

代替，因此，

對於任意直線

（還得要求它不與二次曲線相切）方程

$(a\times b)\cdot l=0$

給出了由

確定的對合變換。如果

與曲線有交點，則交點是對合的不動點；如果沒有交點，則對合沒有不動點。

和二階點列相似，所有與橢圓相切的直線稱為二階線束。二階線束也可以定義交比、對合、調和等關係。這些關係與切點構成的二階點列的關係是相同的。

（對合變換似乎與交點在二次曲線上的退化二次點列有關係？待研究！）

注：當

重合時，應想象成它們錯開了無窮小距離，因此

$a\times a$

的含義是在

的切線。

在二次曲線上任取一點可以把二次點列的交比轉化成一次線束的交比。

類似地，在二次曲線上任取一點可以把二次點列上的對合轉化成一次線束上的對合。

作出了直線

$a\times b$

，它和二次曲線的兩個交點

也就能夠確定了。

$(a\times b)\cdot l=0$

意味著，直線

$a\times b$

恆過

的極點。換句話說，

$a\times b$

是一個一次線束。這導致了極其重要的結論：

二次曲線

外（只要不在

上）有一定點

。則過

的線束中與

相交的直線的兩個交點確定一個對合關係。

它的對偶命題同樣成立：

二次曲線

外（只要不與

相切）有一定直線

。則

上的點列中與

的兩條切線確定一個對合關係（當然，兩個切點也是對合的）

我們畫兩個圖來直觀地看這件事情。

在下圖中，A是定點。過A的動直線l交g於P、Q。P、Q的切線交於D點。則圖中共有三個對合關係：

P、Q是對合的二階點列；P、Q處的切線是對合的二階線束；直線APQ、AD是對合的一階線束

。對合的不動點是A到g的兩條切線（或者切線的切點），圖上未畫出。

在下圖中，PQ是定直線L，A是L上的動點，兩條切線切於E、F，EF連線交L於B。則圖中共有三個對合關係：

E、F是對合的二階點列（不動點是P、Q）；AE、AF是對合的二階線束，不動點是P、Q處的切線；A、B是對合的一階點列，不動點是P、Q。

有趣的是，

二次曲線能產生直線（或點）上的對合，而直線（或點）又能產生二次曲線上的對合

。因此，二次曲線和點、直線在一起，可以產生豐富的數學內容。

再來看一個例子：

是一對共軛的定直線。X是圓錐曲線上的動點。則圖中的兩個交點

滿足以

為不動點的對合變換。

證明：因為

$p\times q,c\times d$

共軛，因此

是二次調和點列，因此

是調和線束，因此

是調和點列，因此滿足對合變換。

運用二次對合，我們可以處理一類在知乎上被廣泛討論的問題，這類問題通常被叫做“

雙斜率過定點問題

”。我們現在來舉一個例子。因此，我隨手從知乎上搬了一道題，來演示一下我如何思考這個問題的：

2017年全國1理

這個橢圓的方程求出來後是

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

。我們直接來看第二問。

首先我看到，A、B兩點是

與橢圓的兩個交點，它們的地位是

對稱

的。

對稱

讓我聯想到了

對合

。接下來，我看到我們要證明的是

過定點

。首先，“過定點”是射影幾何中可以討論的關係；其次，聯絡到我們前文得到的重要定理，

過一定點的直線可以產生二次點列上的對合關係

。因此，我們只需要證明

滿足對合關係就行了；最後看到中間那句話，兩條

過P2的直線

“斜率之和為-1”，這很明顯是過P2的一維線束的一個對合關係。而從本節最開始的討論我們知道，因為P2在橢圓上，因此

橢圓上點的對合等價於過P2的直線的對合

。因此我們的證明便大功告成了：

的斜率滿足

確定了這兩條直線的對合關係，進而確定了橢圓上A、B的對合關係。橢圓上的對合由一條定直線確定，互相對合的點所連直線經過這條定直線的極點。證畢。

我們事實上已經完全解決了這個問題。但是有時候，我們需要具體求出來這個點。因此，我們來考慮一般的問題：

有橢圓

。點

在g上。

$h_{ij}$

是交點為s的退化二階點列，誘匯出過

的線束的對合，再誘匯出

上二階點列的對合。求g上對合點連線過的定點。我們想知道能否純粹用張量語言（

不涉及解二次方程

）來解決這個問題。

我們畫出來這個圖。

是直線m，n構成的，m、n均為h對應的對合的不動直線。因此

是二次曲線上對合的不動點。P、Q均與自己對合，因此連出的直線就是分別切於P、Q兩點的切線。它們的交點正是那個定點。而根據極點極線的性質，這個點正是

的極點。換言之，只要我們能表達出直線

，就能求出定點了。主要的麻煩是，雖然我們知道 h是m，n的對稱積，

$h_{ij}=m_in_j+m_jn_i$

，但不解二次方程，我們是無法得到

的。在只知道

的情況下，我們有沒有可能求出

呢？

這個問題並不能一眼看出答案

。

與這個問題相反的問題會更簡單一些。我們已知

，現在來求出

的表示式。首先，利用”直線與橢圓相交“一節的知識，P、Q兩點的對稱積為

$(pq)^{ij}=l^2g^{ij}-l^il^j$

。接下來，

只要把這個張量的每一個分量都與

叉乘，就得到了直線

的對稱積

。寫成分量式，

$h_{ij}=(mn)_{ij}=\epsilon_{ikm}s^k\epsilon_{jln}s^l(l^2g^{mn}-l^ml^n)$

。用度規升降指標，再利用行列式來把叉乘符號去掉，經過一些有點複雜的化簡，可以得到答案：

$h_{ij}=l_is_j+s_il_j-(l\cdot s)g_{ij}$

，或

$h=ls+sl-(l\cdot s)g$

有了這個表示式以後，我們再把它看作關於未知向量

的方程。如果在等式兩邊同時乘以

$g^{ij}$

，那麼會得到

$g^{ij}h_{ij}=g^{ij}l_is_j+g^{ij}s_il_j-(l\cdot s)g^{ij}g_{ij}$

。

等式左邊是一個已知的實數，我把它寫作

（有兩個點表示做兩個點乘。。。）右側的前兩項都等於

$l\cdot s$

；右側的第三項要利用

$g_{ij}g^{jk}=\delta^k_i$

，以及

$\delta^i_i=3$

（因為在3維空間，每維都貢獻一個1），因此我們得到

$g:h=-l\cdot s$

。因此，我們的方程化簡為

。換句話說，我們知道對稱積

與一個元素

，要求另一個元素

。這相當於已知二次方程的一個根求另一個根，這毫無疑問是可以辦到的。我把

$h^{ij}-(g:h)g^{ij}$

記為

$f^{ij}$

然而，我們想僅僅用

$f^{ij}=l^is^j+s^il^j$

、

就想算出

是很困難的，因為我們能夠使用的運算太少。為了解決這個問題，我們只好任意選取一些新的向量來參與運算。我們

任意地

引入一個線矢

，看看我們能構造什麼東西。

m會和直線n有交點D。但是因為我們還沒有表示出來n，因此我們寫不出交點D。但是，我們可以用f和m做運算

$c^i=f^{ij}m_j$

，得到C點，應用“交比、對合與調和點列”一節的知識，可知C點在直線n上，且構成調和點列

。構造出c以後，就可以構造出

$n=c\times s$

，於是可以構造出來

$d=m\times n$

。於是可以構造

誘導的退化二次點列

。把這個（2，0）型張量作用在任意一個經過S點的直線（比如說S點的極線s），就得到了點L。

具體的計算有一些複雜。

$d=m\times (c\times s)=(m\cdot s )c-(m\cdot c)s$

，代入

$c^i=f^{ij}m_j$

可以得到

$d^i=f^{ij}m_jm^ks_k-f^{jk}m_jm_ks^i$

。

作對稱積可以得到很長的式子：

$(cd)^{il}=2f^{ij}m_jm_ks^kf^{ln}m_n-f^{jk}m_jm_ks^if^{ln}m_n-f^{jk}m_jm_ks^lf^{in}m_n$

接下來我們用它點乘

就得到了

。令人十分高興的是，因為s在橢圓上，因此

，所以第三項會被消掉。結果是

$l^i=2f^{ij}m_jm_ks^kf^{ln}m_ns_l-f^{jk}m_jm_ks^if^{ln}m_ns_l$

。這個式子還可以化簡，因為右邊的兩項中都含有

$f^{ln}m_ns_l$

，可以丟掉。因此

$l^i=2f^{ij}m_jm_ks^k-f^{jk}m_jm_ks^i$

。如果用點乘表示，就是

$l=2(m\cdot s)f\cdot m-(m\cdot f\cdot m)s$

。

推匯出這些公式以後，我們再求解類似的問題就很簡單了，無非三步：

1.寫出對合張量

2.利用

求出張量

3.利用

$l=2(m\cdot s)f\cdot m-(m\cdot f\cdot m)s$

求出向量

現在我們來算一算這個問題中的定點到底是哪個點。橢圓的方程是

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

因為知乎裡敲矩陣太累，我直接貼圖片了。

在計算分量時一定要注意指標的上下！

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注：以下內容似乎沒有價值，但是是否真的沒有用還不敢肯定。建議不要閱讀。

我們透過一次線束的交比定義二次曲線上A、B、C、D四點的交比（的平方）：

$J_{ab,cd}^2=\frac{(a\cdot c )(b\cdot d)}{(b\cdot c )(a\cdot d)}$

。然而大多數情況下，我們並不是給出了二次曲線上的四點，而是給出了兩條直線

，其中m與二次曲線交於A、B兩點，n與二次曲線交於C、D兩點。我們希望用線矢

來表示這個交比，即找到函式

$J^2_{ab,cd}(m,n)$

。

很容易看出一個問題：

$J_{ab,cd}^2=\frac{(a\cdot c )(b\cdot d)}{(b\cdot c )(a\cdot d)}$

關於

（以及

）的地位不對稱（交換後交比變成倒數），然而

是直線與橢圓的兩個交點，它們的地位應當是對稱的。因此我們需要構造另外的一個量。我們採用“交比、對合與調和點列”末尾講到的方法，建構函式

$<m,n>^2=\frac{(m\cdot n)^2}{m^2n^2}$

。這個函式是規範不變的，因此它有幾何意義，很可能與交比有關。現在我們要研究

$<m,n>^2,J_{ab,cd}$

之間有怎樣的關係。

我們代入

$m=a\times b,n=c\times d$

，可以得到

$<m,n>^2=\frac{((a\times b)\cdot (c\times d))^2}{{(a\times b)^2 (c\times d)^2}}=\frac{((a\cdot c)(b\cdot d)-(b\cdot c)(a\cdot d))^2}{{(a^2b^2-(a\cdot b)^2)(c^2d^2-(c\cdot d)^2)}}\\=\frac{((a\cdot c)(b\cdot d)-(b\cdot c)(a\cdot d))^2}{(a\cdot b)^2(c\cdot d)^2}=\frac{(\frac{(a\cdot c)(b\cdot d)}{(b\cdot c)(a\cdot d)}-1)^2}{(\frac{(a\cdot b)(c\cdot d)}{(b\cdot c)(a\cdot d)})^2}$