3、基礎解系(注意物件是齊次線性方程組):若齊次線性方程組的一組解滿足以下兩個條件:(1)線性無關(2)齊次線性方程組的任意一個解都可由線性表出則稱這組解為齊次線性方程組的一個基礎解系
簡單舉例一下,定理1來自於丘版教材,定理8來自於王版教材,兩個定理實際上是在講一件事,王版問題之一:說正確的廢話,比如“它有基礎解系”,讀者不知道有幾個
考慮n維向量組,,設其前n個向量線性無關,考察和它們的關係考慮,解線性方程組,因為前n個n維向量線性無關,所以A可逆,由克萊姆法則,方程組有解,所以可被前n個向量線性表出,所以這n+1個向量線性相關,證畢n+1個n維向量一定線性相關
這樣的到一個新的方程組,為了方便找到第二個向量,不妨做一些小小的線性變換——階梯化這個2行的矩陣,目的是得到它的同解矩陣,這樣易得第二個向量,這樣的即在原方程組的解空間內,也與前面的正交
利用高斯消去法得到階梯型,然後就出來了齊次線性方程組的基礎解系是由若干個線性無關的特解為基構成的線性空間,因此只要求得這些特解就可以了
這個結論在微分方程裡很好用之前回答的可能有點囉嗦了,直接點就是1 非齊次線性方程組的解 由 特解,齊次通解構成,2 齊次通解由基礎解系和係數構成,3 相同的基礎解系對應相同的特解,4 同一方程組的基礎解系是可以相互轉化的這樣兩個解一減就消掉