【線性代數部分】行列式矩陣初等變換與線性方程組初等變換的應用矩陣秩的基本性質三種特殊矩陣的方冪伴隨矩陣關於A矩陣秩的描述線性方程組相似矩陣和二次型n維向量線性相關的幾何意義矩陣A與B線性相關與無關的定理向量組的線性相關性【機率論與數理統計部
這種關係只要對其中一個向量成立,該組就相關
而零向量大小為零,方向是任意的,所以,討論兩個零向量共線毫無意義,你說它們平行,我也可以說垂直
向量平行於向量也就是說這兩個向量共線,所以就會存在兩個不全為0的數使得+=0,假設≠0,則考慮到特殊情況,如果所以題主的問題是描述不夠全面的,沒有考慮到第二種情況中那樣,非零向量無法被零向量線性表出
因為成立:u+v=0(1)若非零向量線性相關,則使的常數中至少有兩個不等於零.解釋:假設中只有一個不等於零,不妨設,則.因為是非零向量,且,所以不可能等於零向量,也就不可能線性相關了,所以中至少有兩個不等於零.(2)正交的非零向量線性無關.
這種定義下的平行向量,是指方向相同或相反的非零向量
是非奇異的:是可逆的的列向量是線性無關的的行向量是線性無關的的行列式是非零的有唯一解有唯一解有個非零的pivot經過初等行變換和列變換可以化簡為所有的特徵值非零是對稱正定矩陣有個正的奇異值注:是指的列空間(Column Space),是指的
考慮n維向量組,,設其前n個向量線性無關,考察和它們的關係考慮,解線性方程組,因為前n個n維向量線性無關,所以A可逆,由克萊姆法則,方程組有解,所以可被前n個向量線性表出,所以這n+1個向量線性相關,證畢n+1個n維向量一定線性相關
今天就先把自己的想法寫出來首先,矩陣橫著看是行向量,豎著看是列向量行列式為零,則說明它們的行或者列向量不全是相互獨立的,怎麼理解呢,我們中學都學過向量吧,一般它們的形式都是行向量,那老師告訴過我們,設有向量a,b,c,如果存在不全為零的k1
而因為線性組合無法建立維度,由於每個無關向量展開的維度都是獨立的,使其不可被剩餘向量線性表出
但相關一定不獨立
(並不嚴謹,但能這麼解釋)不是高中數學規定的,而是事實卻是如此,因為0向量長度為0,所以無法確定方向,那麼它的方向是任意的,於是它就和任意向量平行或垂直
下面給出一般規律:當係數矩陣是滿秩矩陣的時候,只有0解(因為滿秩矩陣,列向量線性無關,因此只有當的分量都為零,即只有零解,這裡:將A寫成列向量的形式:,特別的,當A是方陣的時候,滿秩方陣,因此行列式不為零,x也只有0解,使用克拉默法則也可以
如果解釋變數間出現強相關,雖然可能不會出現無窮解的情況,但是會出現嚴重多重共線性問題,也就是估計值a,b和c的方差會非常大,意味著換一個樣本進行求解會發現a,b和c的值變化非常大,a,b,c取值不夠穩定,另外基於該模型的預測必須保證解釋變數
不管變數之間的關係是不是線性的,只要變數之間具有嚴格的單調增加的函式關係,變數之間的Spearman秩相關係數就是1,相同情況下,Pearson相關性在變數不是線性函式關係時,並不是完全相關的
但當共線時,它們張成的空間就是終點落在一條直線上的向量的集合
(3)可以由線性表示4.向量組的秩與矩陣的秩之間的關係設,則的秩與的行列向量組的線性相關性關係為:(1) 若,則的行向量組線性無關
αm是線性無關的翻譯一下:現在一些人要被派去吃東西,需要吃蘋果、披薩和棒棒糖,然後我們觀察到,哎,α2相同時間裡面吃的東西剛好是α1的兩倍,那我幹嘛還要這個α1啊,useless的傢伙,於是我們可以稱α1和α2是線性相關的,他們是可以相互替
最後類比一下,我們以A的行形式表示,將C的行視為A的行與C的矩陣-向量乘積,符號表達為在此,我們以矩陣-向量乘積(向量左乘)的形式表示了C的i列,只是一個矩陣乘法而已,這麼細的分析看上去好像沒有必要,尤其是當我們知道矩陣乘法定義後其實很容易