向量u=（-1，1，0），向量v=（1，-1，0），那這兩個向量是不是同時正交且線性相關？

作者：由龍雀發表于攝影時間：2022-04-16

知乎使用者2022-04-16 01:06:14

請證明以下命題：

如果向量a和b正交，則a，b線性不相關。

啊哈2022-04-16 01:25:42

這不是倆方向相反的向量麼？怎麼可能正交？

行走清河南北2022-04-16 07:26:06

不正交。這兩個向量不正交是顯然的。

shinbade2022-04-16 11:14:56

這兩個向量內積是-2，不等於0，怎麼會是正交呢？

線性相關是對的。因為成立：u+v=0

草履蟲2022-04-16 11:58:34

（1）若非零向量

$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$

線性相關，則使

$k_1\boldsymbol{a}_1+k_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{0}$

的常數

$k_1,k_2,\cdots,k_n$

中至少有兩個不等於零．

解釋：假設

$k_1,k_2,\cdots,k_n$

中只有一個不等於零，不妨設

$k_1\ne 0$

，則

$k_1\boldsymbol{a}_1+k_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{a}_{n}=k_1\boldsymbol{a}_1$

．因為

$\boldsymbol{a}_1$

是非零向量，且

$k_1\ne 0$

，所以

$k_1\boldsymbol{a}_1$

不可能等於零向量，

$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$

也就不可能線性相關了，所以

$k_1,k_2,\cdots,k_n$

中至少有兩個不等於零．

（2）正交的非零向量線性無關．

解釋：假設兩兩正交的非零向量

$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$

線性相關，由結論（1）可知，使

$k_1\boldsymbol{a}_1+k_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{a}_{n}=\boldsymbol{0}$

的常數

$k_1,k_2,\cdots,k_n$

中至少有兩個不等於零，不妨設

$k_1\ne 0,k_2\ne 0$

．於是有

$\boldsymbol{a}_1=-\frac{1}{k_1}(k_2\boldsymbol{a}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{a}_{n})$

．那麼

$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2$

的內積

$[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2] =-\frac{1}{k_1}(k_2[\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2]+\cdots+k_n[\boldsymbol{a}_{n},\boldsymbol{a}_2]) =-\frac{k_2}{k_1}[\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2] \ne0$

．這與兩兩正交相矛盾．所以正交的非零向量線性無關．

標簽：向量正交線性相關等於零線性

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