利用(6),我們可以立即發現:本文的(8)其實就是Cojocaru & Murty第八章的習題17W(u)的上界估計現在把和和(8)代入到(5)的二重特徵和中,便有:現在設和,則紅色部分變成:將此與(4)結合,便有:對於藍色求和,在
假設模q特徵是模d原特徵誘匯出來的,則當對模d原特徵求和時,有:為了更好地方放縮這個和式,我們設定1用Siegel-Walfisz定理處理1≤d≤D的情況根據Siegel-Walfisz定理[1],易知,所以代入到和式中便能得到:用大篩法處
這意味著與亦互素,故:若把紅色部分設成,則我們可以套用引理1得到:接下來再對綠色部分反覆套用引理1,便有:由於我們先前假定了q無平方因子,所以我們接下來可以透過引入莫比烏斯函式從而將(9)推廣到任意正整數q:現在設則對(10)兩側關於q≤z