篩法（7）——大篩法的積性形式（原特徵與柯西不等式）

作者：由 TravorLZH 發表于文化時間：2021-11-30

科學成就是由一點一滴積累起來的，惟有長期的積聚才能由點滴匯成大海。——華羅庚

往期文章：

TravorLZH：篩法（1）——抽象形式與常用形式

TravorLZH：篩法（2）——容斥原理和埃氏篩法

TravorLZH：篩法（3）——孿生素數對的倒數和收斂【本文含錯誤】

TravorLZH：篩法（3。1）——Brun篩法與孿生素數對的倒數和

TravorLZH：篩法（4）——Selberg篩法

TravorLZH：篩法（5）——大篩法的解析形式（推廣Bessel不等式與Rényi的權重）

TravorLZH：篩法（6）——大篩法的算術形式（Farey數列與中國剩餘定理）

引言

書接上回

［1］

，我們提到可以透過將大篩法與Dirichlet特徵相結合便能更加深入地研究等差數列上的素數分佈問題。因此在本篇文章中我們將看看怎樣能夠把解析形式的大篩法與Dirichlet特徵相結合從而發揮一些作用。確切地說我們將引入一種帶權和：

$T(\chi)=\sum_{M<n\le M+N}a_n\chi(n)$

並利用大篩法來得到與之相關的放縮結論。

對原特徵的求和

利用原特徵的性質

［2］

，我們知道當

$\chi$

為模q原特徵時其高斯和

$G(n,\chi)=\sum_{m\in\mathbb Z_q}\chi(m)e\left(mn\over q\right)$

是可分的。因此倘若定義

$\tau(\chi)=\sum_{m\in\mathbb Z_q}\chi(m)e\left(\frac mq\right)=G(1,\chi)$

，則對於一切模q原特徵

$\chi$

均有：

$\chi(n)={1\over\tau(\overline\chi)}\sum_{r\in\mathbb Z_q}\overline\chi(r)e\left(rn\over q\right)\tag1$

並且

$|\tau(\chi)|=\sqrt q$

。把這些結論代入到（1）中就有：

$\begin{aligned} |T(\chi)|^2 &=\frac1q\sum_{M<m,n\le M+N}\overline{a_m}a_n\sum_{r,s\in\mathbb Z_q}\chi(r)\overline\chi(s)e\left(sn-rm\over q\right) \\ &=\frac1q\sum_{r,s}\chi(r)\overline\chi(s)\sum_m\overline{a_m}e\left(-{rm\over q}\right)\sum_na_ne\left(sn\over q\right) \\ &=\frac1q\sum_{r,s}\chi(r)\overline\chi(s)\overline{S\left(\frac rq\right)}S\left(\frac sq\right) \end{aligned}$

其中

$S(\alpha)=\sum_na_ne(n\alpha)$

是出現在大篩法不等式

［3］

裡的指數和。對左側進行遍歷所有的模q原特徵求和（即

$\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*$

），則有：

$\begin{aligned} \mathop{\sum_\chi}\nolimits^*|T(\chi)|^2 &=\frac1q\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\sum_{r,s}\chi(r)\overline\chi(s)\overline{S\left(\frac rq\right)}S\left(\frac sq\right) \\ &\le\frac1q\sum_{r,s}\color{blue}{\sum_\chi\chi(r)\overline\chi(s)}\overline{S\left(\frac rq\right)}S\left(\frac sq\right) \end{aligned}$

接下來利用Dirichlet特徵的正交性，我們知道藍色部分非零當且僅當

$r=s\in\mathbb Z_q$

與q互素，所以有：

$\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*|T(\chi)|^2\le{\varphi(q)\over q}\sum_{r\in\mathbb Z_q^\times}\left|S\left(\frac rq\right)\right|^2\tag2$

現在我們再對

$1\le q\le Q$

求和，就可以套用Farey數列版的大篩法不等式

［4］

從而得到（3）：

$\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\left|\sum_{M<n\le M+N}a_n\chi(n)\right|^2\le(N+3Q^2)\sum_{M<n\le M+N}|a_n|^2\tag3$

由於Dirichlet特徵的積性，（3）也會被稱為

積性大篩法不等式（multiplicative large sieve inequality）

。（3）右側的係數之所以是

是因為我們證明大篩法不等式

［3］

時用的是Rényi的方法。如果沿用Gallagher

［5］

［6］

的方法，則可以得到陳景潤證明1+2的論文中的版本：

為了在後續文章中更加自在地探究等差數列素數問題，我們需要把（3）轉換成適用於處理二重特徵和的形式。而具體的手段便是柯西不等式。為此我們可以引入兩個帶權和

$A(\chi)=\sum_{m\le M}a_m\chi(m)$

、

$B(\chi)=\sum_{n\le N}b_n\chi(n)$

。然後研究它們的性質。

適用於二重特徵和的大篩法不等式

利用柯西不等式，可知：

$\begin{aligned} &\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*|A(\chi)B(\chi)|=\sum_{q\le Q}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\sqrt{q|A(\chi)|^2\over\varphi(q)}\sqrt{q|B(\chi)|^2\over\varphi(q)} \\ &\le\left(\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*|A(\chi)|^2\right)^{1/2}\times\left(\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*|B(\chi)|^2\right)^{1/2} \end{aligned}$

再套用（3），我們就得到了第一種修改版的積性大篩法不等式了：

$\begin{aligned} \sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\left|\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}a_mb_n\chi(mn)\right| &\ll(M+Q^2)^{1/2}(N+Q^2)^{1/2} \\ &\times\left(\sum_{m\le M}|a_m|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{n\le N}|b_n|^2\right)^{1/2} \end{aligned}\tag4$

然而為了更好地將大篩法投入到後續文章中的真實應用場景，我們需要限制mn的大小。換言之我們希望能為

$W(u)=\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\left|\mathop{\sum_{m\le M}\sum_{\substack{n\le N}}}_{mn\le u}a_mb_n\chi(mn)\right|\tag5$

給出非平凡的上界。由於（5）中的求和範圍已經非常複雜了，所以我們必須得引入一些解析工具來處理mn≤u這個條件。

限制乘積大小的不連續積分

在推導Perron公式

［7］

的時候，我們知道：

${1\over2\pi i}\int_{k-iT}^{k+iT}{y^s\over s}\mathrm ds= \begin{cases} \mathcal O(y^kT^{-1}|\log y|^{-1}) & y<1 \\ 1+\mathcal O(y^kT^{-1}|\log y|^{-1}) & y>1 \end{cases}$

現在設

便有：

$I(r)={1\over2\pi i}\int_{-T}^{T}{e^{irt}\over t}\mathrm dt= \begin{cases} \mathcal O(T^{-1}r^{-1}) & r<0 \\ 1+\mathcal O(T^{-1}r^{-1}) & r>0 \end{cases}\tag6$

現在我們定義

$J(\alpha,\beta)=I(\alpha+\beta)-I(\alpha-\beta)$

則有：

$J(\alpha,\beta)=\frac1\pi\int_{-T}^T{e^{i\alpha t}\over t}{e^{i\beta t}-e^{-i\beta t}\over2i}\mathrm dt=\int_{-T}^Te^{i\alpha t}{\sin(\beta t)\over\pi t}\mathrm dt\tag7$

由於

$\overline{J(\alpha,\beta)}=J(-\alpha,\beta)$

且

$J(\alpha,-\beta)=-J(\alpha,\beta)$

，所以我們接下來只需要在

$\alpha,\beta>0$

的基礎下分析

$J(\alpha,\beta)$

可能的取值就可以得到更廣的結論。利用（6），我們可以立即發現：

$\int_{-T}^Te^{i\alpha t}{\sin(\beta t)\over\pi t}\mathrm dt= \begin{cases} 1+\mathcal O\{T^{-1}(\beta-\alpha)\} & \beta>\alpha>0 \\ \mathcal O\{T^{-1}(\alpha-\beta)\} & \alpha>\beta>0 \end{cases}\tag8$

本文的（8）其實就是Cojocaru & Murty第八章的習題17

W（u）的上界估計

現在把

$\alpha=\log mn$

和

$\beta=\log u$

和（8）代入到（5）的二重特徵和中，便有：

$\begin{aligned} \mathop{\sum_{m\le M}\sum_{\substack{n\le N}}}_{mn\le u}a_mb_n\chi(mn) &=\color{red}{\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}a_mb_n\chi(mn)\int_{-T}^T(mn)^{it}{\sin(t\log u)\over\pi t}\mathrm dt} \\ &+\color{blue}{\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}\mathcal O\left\{{|a_mb_n|\over T|\log u/mn|}\right\}} \end{aligned}\tag9$

現在設

$A(t,\chi)=\sum_{m\le M}a_m\chi(m)m^{it}$

和

$B(t,\chi)=\sum_{n\le N}a_n\chi(n)n^{it}$

，則紅色部分變成：

$\color{red}{\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}}=\int_{-T}^TA(t,\chi)B(t,\chi){\sin(t\log u)\over\pi t}\mathrm dt$

將此與（4）結合，便有：

$\begin{aligned} &\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\int_{-T}^T|A(t,\chi)B(t,\chi)|{|\sin(t\log u)|\over\pi t}\mathrm dt \\ &\ll(M+Q^2)^{1/2}(N+Q)^{1/2}\left(\sum_m|a_m|^2\right)^{1/2} \\ &\times\left(\sum_n|b_n|^2\right)^{1/2}\int_{-T}^T\min\left\{{1\over|t|},\log u\right\}\mathrm dt \end{aligned}\tag{10}$

對於藍色求和，在不失一般性的情況下我們假設u是半奇數，則

$|\log u/mn|\gg1/mn>1/u$

，所以：

$\begin{aligned} &\color{blue}{\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}}\ll\frac uT\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}|a_mb_n| \\ &\le{u\sqrt{MN}\over T}\left(\sum_{m\le M}|a_m|\right)^{1/2}\left(\sum_{n\le N}|b_n|^2\right)^{1/2} \end{aligned}\tag{11}$

由於當

時W（u）=W（MN），所以把（10）、（11）以及

$\int_0^T\min\left(\frac1t,\log u\right)\mathrm dt\ll\log u+\log T\le \log MNT$

代入回（5）便有：

$\begin{aligned} W(u)&\ll(M+Q^2)^{1/2}(N+Q^2)^{1/2}\left(\sum_{m\le M}|a_m|\right)^{1/2}\left(\sum_{n\le N}|b_n|^2\right)^{1/2}\log MNT \\ &+\sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*{M^{3/2}N^{3/2}\over T}\left(\sum_{m\le M}|a_m|\right)^{1/2}\left(\sum_{n\le N}|b_n|^2\right)^{1/2} \\ &\ll\left[{M^{3/2}N^{3/2}\over T}+(M+Q^2)^{1/2}(N+Q^2)^{1/2}\right] \\ &\times\left(\sum_{m\le M}|a_m|\right)^{1/2}\left(\sum_{n\le N}|b_n|^2\right)^{1/2}\log MNT \\ \end{aligned}$

現在設定

$T=M^{3/2}N^{3/2}$

，我們就得到了適用於W（u）的大篩法不等式：

$\begin{aligned} \sum_{q\le Q}{q\over\varphi(q)}&\mathop{\sum_\chi}\nolimits^*\max_u\left|\mathop{\sum_{m\le M}\sum_{n\le N}}_{mn\le u}a_mb_n\chi(mn)\right|\ll(M+Q^2)^{1/2}\\&\times(N+Q^2)^{1/2}\left(\sum_{m\le M}|a_m|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{n\le N}|b_n|^2\right)^{1/2}\log MN \end{aligned}\tag{12}$

本文的（12）其實就是GTM74

［5］

第28章的（5）和Cojocaru & Murty

［6］

第八章的（19）

小結

在本篇文章中我們以原特徵的性質（1）作為起點，先推導了大篩法的積性形式（3）。接下來透過將（3）與柯西不等式結合，便得到了適用於二重求和的積性大篩法不等式（4）。最後透過引入解析工具（8），我們得到了一種將（4）變成了一種能夠一致限制mn大小的版本（12）。接下來我們將透過巧妙地使用（12）來得到對於一切

$Q\le x$