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【解析幾何】利用柯西不等式巧解一類圓的最值問題

作者：由擇夢舟發表于繪畫時間：2021-10-24

話不多說，先上例題。

（2018 襄陽檢測改編）如果實數

滿足

，則

$\frac{y}{x}$

的最小值_______

；

的最大值為_______

；

的最大值為_______。

常規解法如下：

新高考數學你真的掌握了嗎

你會發現，雖然以上解法較易理解，但計算量很繁瑣！

那麼，有沒有簡便的方法呢？

答案是有的，那當然是——圓的引數方程。

咳咳，跑題了，圓的引數方程，固然簡單，但本篇文章不講，有興趣的讀者可以去嘗試。

我在這裡給一下一般圓的引數形式：

圓的引數方程

言歸正傳，為什麼可以使用柯西不等式求解？

觀察例題，可以發現：

與圓有關的最值問題的常見型別及解法

（1）形如

$u=\frac{y-b}{x-a}$

形式的最值問題，可以轉化為過點

和

的動直線斜率的最值問題。

（2）形如

形式的最值問題，可以轉化為動直線

$y=-\frac{a}{b}x+\frac{l}{b}$

在

軸上的截距的最值問題。

（3）形如

形式的最值問題，可以轉化為動點

到定點

的距離的平方的最值問題。

其本質就是：已知圓心

，將所求變數的形式轉化為動直線形式（第三種形式也可以轉化），進而求點到直線的距離的取值範圍。

這樣問題就簡單化了，只要我們能利用柯西不等式求出點到直線的距離的取值範圍，就能解出上述問題。

下面簡單介紹以下柯西不等式（摘自百度百科）：

柯西不等式

是由大數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有著十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。

柯西不等式的一般形式：

高中只要掌握二維形式即可

證明：

還有其他形式的，我節選了向量形式和三角形式：

證明：

下面利用柯西不等式推導點到直線的距離公式：

已知直線

$l:Ax+By+C=0(A^2+B^2 \ne0)$

點

，求點

到直線

的距離。

用柯西不等式推導點到直線的距離公式（熊昌進）

用柯西不等式推導點到直線的距離公式（熊昌進）

下面就利用柯西不等式解決上述問題。

（1）設

$k=\frac{y}{x}$

，則

，應用柯西不等式，得：

$[（x-3）^2+y^2][k^2+(-1)^2]\geq[k(x-3)-y]^2=(-3k)^2$

當且僅當

$\frac{x-3}k=\frac{y}{-1}$

等號成立。

因為

，所以

$4（k^2+1)\geq(3k)^2$

，即

$5k^2\leq4$

。

解得

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}\leq k \leq\frac{2\sqrt{5}}{5}$

。故最小值為

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

。

（2）設

，應用柯西不等式，得：

$[（x-3）^2+y^2][(-1)^2+1^2]\geq[y-(x-3)]^2=(t+3)^2$

當且僅當

$\frac{x-3}{-1}=\frac{y}{1}$

等號成立。

因為

，所以

$4\times2\geq(t+3)^2$

。

解得

$-2\sqrt{2}-3\leq t\leq2\sqrt{2}-3$

。故最大值為

$2\sqrt{2}-3$

。

（3）因為

$（x-3）^2+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=6x-5$

，

設

，應用柯西不等式，得：

$[（x-3）^2+y^2][6^2+0^2]\geq[6(x-3)]^2=(t-13)^2$

當且僅當

時等號成立。

因為

，所以

$4\times36\geq(t-13)^2$

解得

$1\leq t\leq25$

。故最大值為

。

當然，值得說明的是，有時候柯西不等式不一定是這類最優解，但在我看來，它的求解如同神來之筆，值得慢慢品味。

標簽：不等式柯西最值直線形式

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