從一開始,就有一些數學家對怎樣用計算機來幫助解數學問題十分感興趣,而且由於計算機技術而產生了許多新的數學分支——包括數值分析、逼近論、計算數論和動力系統理論
我最喜歡的一本數學家自傳,看了好幾遍,作者書中寫了好多和基友馮諾依曼的故事,很有意思
顯然J是R的一個理想,所以多項式的首項係數生成了J
2 離散時間希爾伯特變換數字濾波器的頻率響應為作離散時間傅立葉逆變換得則離散時間希爾伯特變換可以看作輸入訊號序列透過一個單位衝激響應為式的數字濾波器
希爾伯特提出的問題無關具體有理數,他希望證明某些多項式可以被表示為有理函式的平方和,比如
應用希爾伯特變換對它進行解析訊號分析(比如求解訊號的瞬時幅度和瞬時頻率),可以得到具有實際物理意義的結果
另一方面,包絡檢出可以用希爾伯特變換
哥德爾不完備定理,對於一個足夠強大的公理系統(包含皮亞諾公理),則如果系統邏輯上自洽/連續 (consistent),則不完備(incomplete),存在該體系下證明不了的問題
而哥德爾不完備定理告訴所有人,數學問題並不是都能被證明的,你們的數學不是完美的
圖5:1/6, 1/2, 5/6 都對應單位正方形中點類似的,更高維的空間填充曲線 (space-filling curve) 也是能構造出來,比如下面的三維希爾伯特曲線
研究物理需要的數學水平,和所要做的物理方向有關係,如果是天體物理和凝聚態之類,學好微積分、線性代數、數學物理方法之類的就差不多,這些課程大學的物理學專業都安排了
因為求解希爾伯特第13個問題的失敗,芝加哥大學數學教授本森·法布(Benson Farb)不但沒有感到沮喪,反而很高興,而且與他合作的另外兩位數學家也為此高興
二、內積空間對於一個線性空間中的任意兩個向量和, 都有一個數域上的數c與之對應, 記為, 並且該對應關係滿足內積運算的定義
布洛克球面向量的投影與合成現在終於可以說出那句剛被憋了回去的話:二維希爾伯特空間的態向量與三維直角座標中的單位向量形成了一一對應的關係
由於通常是無限維的,正則化需要考慮進來,構成帶懲罰的最小二乘問題令其中是一個基函式為的有限維空間,是再生核為的再生核希爾伯特空間
希爾伯特:不需要玩家的遊戲德國數學家大衛·希爾伯特(David Hilbert, 1862-1943)擴充套件了弗雷格和羅素的工作,提出了著名的希爾伯特方案,即數學的任何分支都可以被重新表述為一種形式理論,他提出以下3個問題是否存在正解:一
(Fourier變換)歐式空間裡面有最小二乘法,在Hilbert空間中是否有類似表述呢
希爾伯特的第十二個問題要求精確描述阿貝爾多項式的根的構造塊,Dasgupta和Kakde的研究給出了一系列數字系統的構建塊——儘管是以p-進L函式的形式進行的
19 世紀,在希爾伯特提出數學問題清單之前,數學家們發現,單位根可以作為他們想要研究的特定數字集合的「構建塊」:具有有理係數的阿貝爾多項式的根