代數幾何入門：仿射空間（希爾伯特基定理）
作者：由 柯俊明 發表于 詩詞時間：2022-06-06
前面說一個代數集可以由任意的多項式集合定義，實際上代數集都是有限集合。
定理：域上的每個代數集都可以描述成有限多個多項式方程的公共根的集合（超曲面）的交。
希爾伯特（1862年1月23日－1943年2月14日），德國數學家。
下面證明這個定理。
對於一些理想
![I \subset k[X_1,...,X_n]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/QVyLCWq_olfLW8B0NKGdBV_m-8K1xnQQT=uLAloeF8B3X2Xcgtvp2Zlr-dt3O30Kk3RDl7ntcyV4nAa0zOh1D67mazQ5D.jpeg)
，定義代數集
。
我們只需證明
是有限生成的，如果
，那麼
。
如果一個環的所有理想都是有限生成的，我們稱這個環叫諾特環。
阿馬莉·埃米·諾特（1882年3月23日－1935年4月14日），德國數學家
域和PID都是諾特環。
我們上面那個定理因此是希爾伯特基定理的推論。
希爾伯特基定理：如果 #FormatImgID_10# 是一個諾特環，那麼 #FormatImgID_11# 也是一個諾特環。
現在我們只需證明希爾伯特基定理。
因為
![R[X_1,...,X_n]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/UpPZYYpeUM6bVmA1zkE+wqt+kZIfK9jvkR5ZWEn0rcyKWuWi_4_tSuxle4XJKC9cZzZ7won0zuR7F.jpeg)
和
![R[X_1,...,X_{n-1}][X_n]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/I4UDk7tLuRHr6=TAV=RL+sbNdDK10FRf6bNDw_vATlw07OnXZcazcg3foZZ40VMNqknhS2uPRsoL2W0PtEUBhaWggbZ-cFMgiW-zS.jpeg)
同構，我們只需證明如果
是諾特環，那麼
![R[X]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/+lPuU5=b2tHDkMVG7=kLw4eNTEvm6FSiKJ5uTcsmjqwPV59zT.jpeg%5BX%5D)
也是諾特環，剩下的就可以使用數學歸納法證明。
假設
是
的理想，我們只需找到
的生成元的有限集合。
假設
![F = a_1 + a_1X+...+a_dX^d \in R[X], a_d \neq 0](https://img.heatask.com/upload/website_attach/2QaTEt_NQpv-twpPDSpPtEGwIVPV5k0f51jTl+hW7WaY=bEDCnH6MTY6+qXP9HERlTjDTf7bR5MxipBiQ3BnuB9280maKKVgcMTyDxXMC0Je2+dALJHKLxY6+VnP9H0h3_J0P-da6.jpeg)
，我們把
叫做
的首項係數。
假設
的所有多項式的首項係數組成了集合J。
顯然J是R的一個理想，所以多項式
的首項係數生成了J。
選擇一個大於所有多項式
度的整數N。
對於
，把所有
的多項式
的所有首項係數構成的R的理想設為
。
把
中所有度不大於m且首項係數生成
的多項式設為有限集合
。
是由所有的
和所有的
生成的理想。
我們只需證明
。
假設
小於
，我們選出
中度最小且不在
中的元素
。
如果
，我們可以找到多項式
使得
和
的首項相同。
但是這樣的話就有
，所以
，從而
。
類似地，如果
，我們可以減去另一個
的
來減少多項式的度。
因此定理得證。
Mizar（武曲星）系統用於編寫數學定義和證明的形式語言，阿爾伯塔大學用Mizar證明了希爾伯特基定理。
推論：對於任意的域 #FormatImgID_53# ， #FormatImgID_54# 是一個諾特環。
