連續介質力學基礎：本構方程（3）

作者：由蒹葭蒼蒼發表于體育時間：2020-06-03

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1 動量本構方程

今天來討論一下，彈性力學基本方程的推導。在彈性力學中，同樣存在幾個基本假設：

（1）應力張量的各分量是區域性位移梯度張量各分量的線性齊次函式；（廣義胡克定律）

（2）固體是各向同性的。

其中，假設（1）對於小變形情況下是成立的，假設（2）則對不同固體有不同的情況，對於大多數金屬都屬滿足的。

根據假設（1），得

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}=\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}:\nabla \overrightarrow{x} \\$

其中，

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}$

是表徵流體粘性的四階張量，

$\overrightarrow{x}=(\alpha,\beta,\gamma)$

為物體在各個方向上的位移。。

由於

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}$

是對稱的，所以

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}$

關於前兩個指標也是對稱的。另外，

$\nabla \overrightarrow{v]x}=\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1+\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{\Omega}}}_1$

。其中

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1=\frac{1}{2}[\nabla \overrightarrow{x}+(\nabla \overrightarrow{x})^\mathrm{T}]$

，

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{\Omega}}}_1=\frac{1}{2}[\nabla \overrightarrow{x}-(\nabla \overrightarrow{x})^\mathrm{T}]=-\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{\epsilon}}}\cdot\overrightarrow{\omega}$

。於是

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}=\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}:\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}-\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}:\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{\epsilon}}}\cdot\overrightarrow{\omega} \\$

根據假設（2），

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}$

是各向同性張量，且關於前兩個指標是對稱的，故

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}$

的獨立分量個數由81個減至2個。於是

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}=\lambda\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}+G[\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,1,3)\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,2,4)+\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,1,4)\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,2,3)] \\$

其中，

$\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{A}}},m,n)$

表示張量

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{A}}}$

的第

個指標與第

個指標進行縮並，

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4$

為分量全為1的四階張量。所以，

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}$

關於後兩個指標也是對稱的。因此，

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{C}}}:\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{\epsilon}}}\cdot\overrightarrow{\omega}=\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{O}}}$

，即偏應力與旋轉無關，只與變形有關。因此

$\begin{align*} &\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}\\ =&\lambda\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}:\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1+G[\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,1,3)\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,2,4)+\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,1,4)\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}_4,2,3)]:\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1\\ =&\lambda\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}+2G\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1\\ \end{align*} \\$

所以

$\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}=\lambda\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}+2G\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1 \\$

令

$\lambda=\frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)},G=\frac{E}{2(1+\mu)} \\$

其中，

為彈性係數，

$\mu$

為泊松比。

2 總結

透過本文，我們可以得到微分形式的彈性力學方程：

$\begin{align*} \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\overrightarrow{v})&=0\\ \rho\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}&=\rho\overrightarrow{f}+\nabla\cdot\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}\\ \widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}&=\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}^\mathrm{T}\\ \rho\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}&=\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}:\nabla\overrightarrow{v}-\nabla\cdot\overrightarrow{f}_F+\rho q\\ \rho&=f_1(p,T)\\ U&=f_2(p,T),\overrightarrow{f}_F=-k\nabla T\\ \widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}&=\lambda\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}+2G\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1 \end{align*} \\$

一般而言，研究固體變形時將它的宏觀運動獨立出去考慮，因此可令

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

。故

$\begin{align*} \rho\overrightarrow{f}+\nabla\cdot\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}&=\overrightarrow{0}\\ \rho&=f_1(p,T)\\ \widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}&=\lambda\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}+2G\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1 \end{align*} \\$

通常情況下，我們不考慮溫度與能量對流場運動的耦合作用，因此將E，μ視為常數。由於

$\begin{align*} \nabla\cdot(\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}})&=\nabla \mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\\ &=\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow{x})\\ \nabla\cdot\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1&=\frac{1}{2}\nabla\cdot[\nabla \overrightarrow{x}+(\nabla \overrightarrow{x})^\mathrm{T}]\\ &=\frac{1}{2}\nabla\cdot\nabla \overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow{x}) \end{align*} \\$

故

$\begin{align*} \nabla\cdot\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{P}}}&=\nabla\cdot(\lambda\mathrm{tr}(\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}})_1\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{I}}}+2G\widetilde{\boldsymbol{\mathrm{S}}}_1)\\ &=\lambda\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow{x})+G\nabla\cdot\nabla \overrightarrow{x}+G\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow{x})\\ &=(\lambda+G)\nabla(\nabla\cdot\overrightarrow{x})+G\nabla\cdot\nabla \overrightarrow{x} \end{align*} \\$