2022鐵嶺六校圓錐大題快速解法

作者：由吳老師發表于體育時間：2022-03-14

解：此題關鍵在第一問，命題者為了降低難度，直接告訴了極線方程，依葫蘆畫瓢即可；

（1）設

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$

，則

$\mathrm{AB}: \frac{\mathrm{x}_{0} \mathrm{x}}{2}+\mathrm{y}_{0} \mathrm{y}=1$

，

即

$\mathrm{x}_{0}=\frac{\mathrm{m}}{2}, \mathrm{y}_{0}=\frac{\mathrm{n}}{4}$

，

軌跡方程為

$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{16}=1；$

（2）此問用三角形面積座標公式可以一步到位解決。

知識準備：若

為平面內不共線三點，

為座標原點，

$\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$

，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

與

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

夾角為

$\theta$

，則

$\begin{aligned} \mathrm{S}_{\mathrm{OAB}} &=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}||\overrightarrow{\mathrm{OB}}| \cdot \sin \theta=\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2} \sin ^{2} \theta}=\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}\left(1-\cos ^{2} \theta\right)} \\ &=\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{y}_{1}{ }^{2}\right)\left(\mathrm{x}_{2}{ }^{2}+\mathrm{y}_{2}{ }^{2}\right)-\left(\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{2} \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1} \mathrm{y}_{2}-\mathrm{x}_{2} \mathrm{y}_{1}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\left|\mathrm{x}_{1} \mathrm{y}_{2}-\mathrm{x}_{2} \mathrm{y}_{1}\right| \end{aligned}$

正式解答：

$\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{OPM}}=\frac{1}{2}\left|\mathrm{my}_{0}-\mathrm{nx}_{0}\right|=\left|\mathrm{x}_{0} \mathrm{y}_{0}\right|=\sqrt{\mathrm{x}_{0}^{2} \mathrm{y}_{0}^{2}}=\sqrt{2} \sqrt{\frac{\mathrm{x}_{0}^{2}}{2} \cdot \mathrm{y}_{0}^{2}}$