高中數學：集合

作者：由 XM73 發表于體育時間：2022-06-30

集合的概念與表示

現代數學中，最基礎的東西不是數，也不是圖形，而是集合與邏輯。數字、圖形都可以用集合與邏輯來定義（不過這種定義不在高中數學的範圍內）。由此可見集合與邏輯的重要性。

集合很容易理解。顧名思義，

集合就是一些東西。可以把集合理解為一個盒子，它裡面可以有各種各樣的東西，可以有無窮多個東西，也可以什麼都沒有。我們把集合裡面的東西叫做這個集合的元素。如果一個元素 #FormatImgID_1# 在一個集合 #FormatImgID_2# 中，我們說“#FormatImgID_3# 屬於 #FormatImgID_4#"，用符號記作 #FormatImgID_5#

。例如，這是一個集合，它的元素是

、

$\sqrt{3}$

、

$\pi$

：

沒有東西也是一個集合，這個集合叫做”空集“，記作

$\varnothing$

：

有一些常見的集合有特殊的名字。以所有非負整數（自然數）為元素的集合叫做

$\mathbb{N}$

；以所有正整數為元素的集合叫做

$\mathbb{N}^*$

或

$\mathbb{N}_+$

；以所有整數為元素的集合叫做

$\mathbb{Z}$

；以所有有理數為元素的集合叫做

$\mathbb{Q}$

；以所有實數為元素的集合叫做

$\mathbb{R}$

。

數學中的集合還有一些性質。

這兩個集合 #FormatImgID_18#、#FormatImgID_19# 的元素完全一樣，#FormatImgID_20# 的元素都屬於 #FormatImgID_21#，#FormatImgID_22# 的元素都屬於 #FormatImgID_23#，只是我們畫的順序不一樣。這種情況下，我們認為 #FormatImgID_24# 和 #FormatImgID_25# 是相同的：

集合中，同一個元素不能重複出現多次

。例如，這不是一個集合：

到目前為止，我們透過畫畫來表示一個集合。但數學家們覺得這樣表示太麻煩了，就創造了一種集合的表示方式，叫做列舉法。它本質上和畫畫沒有區別。例如，我們剛才畫出的第一個集合用列舉法表示為

$\{ 2,\sqrt{3},\pi \}$

。

用列舉法能表示很多集合。我們畫畫能畫出來的，列舉法都能表示出來。但列舉法不能表示所有集合。例如一個以所有正實數為元素的集合，列舉法就無法表示。不可能把所有正實數一個個列舉出來，因為正實數有無窮多個。那麼怎麼辦呢？

我們說“以所有正實數為元素的集合”這句話，就已經表示出了一個集合，只不過是用中文表示的，而不是用嚴謹的數學語言表示的。如果我們把這句話翻譯成數學語言，就得到集合的另一種表示方法：描述法。我們要翻譯”以所有正實數為元素的集合“，首先給這個集合的元素取一個名字，這裡叫

。然後，

為實數，也就是

$x\in \mathbb{R}$

。最後，

為正數，也就是

。再加上一些符號，得到”以所有正實數為元素的集合“用描述法表示為

$\{x|x\in \mathbb{R},x>0\}$

。

兩邊的大括號代表這是一個集合，豎線左邊是我們為集合中的元素取的名字，右邊是這個元素需要滿足的條件。

為了方便，有時把條件

$x\in \mathbb{R}$

寫在豎線左邊，所以

$\{x|x\in \mathbb{R},x>0\}$

有時簡化為

$\{x\in \mathbb{R}|x>0\}$

。除此以外，

高中數學中，經常把 #FormatImgID_38# 省略，如果沒有專門說，就預設 #FormatImgID_39#

。所以

$\{x\in \mathbb{R} | x>0\}$

經常再簡化為為

$\{x | x>0\}$

。（但如果我們要的不是所有正實數，而是所有正有理數，那還是要寫

$\{x\in \mathbb{Q} | x>0\}$

。）

我們再試試用描述法表示另一個集合：以所有平方數為元素的集合。我們還是設這個集合的元素為

。關鍵就在於如何翻譯”

為平方數“。”

為平方數“的意思就是“有一個整數的平方為

“。這樣，我們就能得出這個集合用描述法的表示了：

$\{x|x=n^2,n\in \mathbb{Z}\}$

。這個表示有時簡化為

$\{n^2|n\in \mathbb{Z}\}$

，把

省略，直接把集合中的元素叫做

。

再看一看這個集合：

$\{x\in \mathbb{N}|y=\frac{1}{x}\}$

。看起來，豎線右邊的條件”

$y=\frac{1}{x}$

“似乎沒有傳達任何資訊，因為給出一個

，必然存在一個

$y=\frac{1}{x}$

。但要注意，表示式

$\frac{1}{x}$

必須要有定義，這樣才存在

$y=\frac{1}{x}$

。所以集合

$\{x\in \mathbb{N}|y=\frac{1}{x}\}$

就是非零的非負整數，也就是正整數（

$\mathbb{N}^*$

）。

所以，在豎線右邊的條件中，要注意表示式是否有定義。

最後，

要注意不是所有看起來像描述法的表示都能表示一個集合，給出的條件必須有準確的定義

。例如，

$\{x|x很大\}$

不能表示一個集合，因為給出一個

，我們不能準確地判斷

是否很大，

很大這個條件沒有準確的定義。

因為像

$\{x|-2<x\le 3\}$

這樣表示實數中一個區間的集合太常見了，所以這些集合有一種特殊的表示方法。集合

$\{x|a\le x\le b\}$

記作

；集合

$\{x|a<x<b\}$

記作

（需要根據上下文判斷來避免和座標混淆）；集合

$\{x|a<x\le b\}$

記作

；集合

$\{x|a\le x<b\}$

記作

。總之，

如果區間的一端含等號，這一端就用”[“；如果不含等號，就用”(“

。還有一些區間，只有一個端點，像

$\{x|x\le 1\}$

。對於這些區間，

我們把它的另一個端點規定為正無窮大或負無窮大，且用”(“

（因為區間不包括正負無窮大本身）。這樣，

$\{x|x\le 1\}$

可以記作

$(-\infty,1]$

。同理，

$\{x|x>4\}$

可以記作

$(4,+\infty)$

。

集合的關係與運算

如果有兩個集合 #FormatImgID_77#、#FormatImgID_78#，且 #FormatImgID_79# 的元素都屬於 #FormatImgID_80#，那麼我們說”#FormatImgID_81# 是 #FormatImgID_82# 的子集“，或”#FormatImgID_83# 包含於 #FormatImgID_84#“，記作 #FormatImgID_85#

。例如，集合

$\{東,西\}$

包含於集合

$\{東,西,南,北\}$

。注意包含於和屬於的差異。

屬於

意思是”

是

的元素“，而不是”

的元素都是

的元素“。

空集包含於任何集合，因為空集沒有元素，它的所有元素都屬於任何一個集合

。

根據上述的定義，任何集合包含於它自己，因為它自己的元素都屬於它自己。

如果 #FormatImgID_95#，且 #FormatImgID_96#，那麼我們說”#FormatImgID_97# 是 #FormatImgID_98# 的真子集“，記作 #FormatImgID_99#

。例如，

$\varnothing \subsetneq \{張三,李四\}$

，

$\{張三\} \subsetneq \{張三,李四\}$

，但

$\{張三,李四\} \subsetneq \{張三,李四\}$

不成立。

若一個集合有 #FormatImgID_104# 個元素，它的子集個數為 #FormatImgID_105#

。這可以這樣理解：如果我們要選出一個子集，我們要判斷第一個元素是否要屬於子集，再判斷第二個元素是否要屬於子集，等等，直到判斷第

個元素是否要屬於子集。總共要做

次判斷，每次判斷的結果有兩種可能，所以共有

組不同的判斷；每一組判斷對應一個子集，每一個子集對應一組判斷，所以子集個數也為

。

如果有兩個集合 #FormatImgID_110#、#FormatImgID_111#，那麼定義集合 #FormatImgID_112#（讀作”#FormatImgID_113# 與 #FormatImgID_114# 的並集“，簡稱”#FormatImgID_115# 並 #FormatImgID_116#“）為 #FormatImgID_117#

。意思就是說，如果一個元素屬於

，或者屬於

，那麼它就屬於

$A\cup B$

。要注意，如果一個元素屬於

，也屬於

，它在

$A\cup B$

中也只出現一次，因為集合中不能出現重複的元素。例如，

$(-1.+\infty)\cup (-\infty,1]=\mathbb{R}$

。

類似，

如果有兩個集合 #FormatImgID_125#、#FormatImgID_126#，那麼定義集合 #FormatImgID_127#（讀作”#FormatImgID_128# 與 #FormatImgID_129# 的交集“，簡稱”#FormatImgID_130# 交 #FormatImgID_131#“）為 #FormatImgID_132#

。意思就是說，如果一個元素既屬於

，也屬於

，那麼它就屬於

$A\cap B$

。例如，

$(-1.+\infty)\cap (-\infty,1]=(-1,1]$

。

最後，

如果有一個集合 #FormatImgID_137#，集合 #FormatImgID_138#，那麼定義集合 #FormatImgID_139#（讀作“#FormatImgID_140# 關於 #FormatImgID_141# 的補集，在上下文明確時，可以簡稱“#FormatImgID_142# 的補集”）為 #FormatImgID_143#（#FormatImgID_144# 指不屬於）

。意思就是說，在集合

中，那些不在

中的元素就屬於

$\complement_UA$

。例如，如果

，則

$\complement_{\mathbb{R}}A=(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$

。

求區間的並、交、補集運算時，應特別注意區間兩端應打"("")"還是"[""]"，並根據並、交、補集的定義來判斷

。例如，

$\complement_R(2,5]=(-\infty,2]\cup (5,+\infty)$

，因為

$2\notin (2,5]$

，

$5\in (2,5]$

，所以

$2\in \complement_R (2,5]$

，

$5\notin \complement_R (2,5]$

。

我們可以透過畫圖，我們可以清晰地看出集合之間的關係以及集合的運算。這種圖叫做Venn圖。例如這裡，紅線以內的區域代表集合

，綠線以內區域代表集合

，藍線以內的區域代表集合

。這樣一來，可見黃線以內區域就是

或

中的區域，所以黃線內區域代表集合

$A\cup B$

。類似，棕色區域代表集合

$A\cap B$

，藍色區域代表集合

$\complement_U(A\cup B)$

。從Venn圖可以看出不少集合的性質，例如

$\complement_A (A\cap B)=\complement_{A\cup B}B$

（因為

$\complement_A (A\cap B)$

和

$\complement_{A\cup B}B$

都是圖中的紅色區域），以及若

$A\subseteq U$

，則

$U\cap A=A$

、

$U\cup A=U$

等（具體細節請讀者自行補充）。

已知集合的運算

高考中，對集合的考察以考察集合的表示與已知的集合的並集、交集、補集的求法為主。

如果要求用列舉法表示的集合的並、交、補，就根據並、交、補的定義，列舉出並集、交集、補集中的元素

。（像這種黑體字，有不少都是解題方法，看完應該對照下面的例題，觀察例題是如何使用這個解題方法的。）

例1.（2020全國II卷理）已知集合 #FormatImgID_170#，#FormatImgID_171#，#FormatImgID_172#，則 #FormatImgID_173#

A. #FormatImgID_174# B. #FormatImgID_175# C. #FormatImgID_176# D. #FormatImgID_177#

這道題中，因為

、

都是確定的集合，所有我們直接根據並、補集的定義來求

$\complement _U (A\cup B)$

。先求

$A\cup B$

。那些在

中，或者在

中的元素為

、

，所以

$A\cup B=\{-1,0,1,2\}$

。然後求它關於

的補集。那些在

中，但不在

$A\cup B$

中的元素為

、

，所以

$\complement _U (A\cup B)=\{-2,3\}$

。故本題選A。

如果要求用描述法表示的集合的並、交、補，就結合集合中元素需要滿足的條件求解。#FormatImgID_196# 中的元素滿足 #FormatImgID_197# 的條件或 #FormatImgID_198# 的條件；#FormatImgID_199# 中的元素同時滿足 #FormatImgID_200# 的條件和 #FormatImgID_201# 的條件；#FormatImgID_202# 中的元素滿足 #FormatImgID_203# 的條件，但不滿足 #FormatImgID_204# 的條件。如果不好直接看出答案，可以在數軸上標出兩個集合，由此得出答案。

例2.（2019全國II卷理）設集合 #FormatImgID_205#，#FormatImgID_206#，則 #FormatImgID_207#

A. #FormatImgID_208# B. #FormatImgID_209# C. #FormatImgID_210# D. #FormatImgID_211#

這裡，

、

都是確定的集合，所以直接根據交集的定義來求

$A\cap B$

。我們聯立

、

中元素需要滿足的條件：

$\begin{align*}<br>x^2-5x+6&>0\\<br>x-1&<0\\<br>\end{align*}$

解得

，所以

$A\cap B=(-\infty,1)$

。故本題選A。

如果不好直接看出答案，可以在數軸上標出兩個不等式的解集：

如果集合的含義不清晰，先應該搞清楚這個集合的含義。可以透過代入特殊值來搞清楚集合的含義。

例3.（2021全國乙卷理）已知集合 #FormatImgID_221#，#FormatImgID_222#，則 #FormatImgID_223#

A. #FormatImgID_224# B. #FormatImgID_225# C. #FormatImgID_226# D. #FormatImgID_227#

這裡，

、

仍然是確定的集合，但它們的描述沒有前面兩道題那麼清晰。所以，我們先搞清楚

、

是什麼樣子的集合。

的元素是那些能表示為

形式的數，其中

為整數。如果一眼看不出來，可以代入一些

值，比如代入

，然後就能發現

的元素是所有奇數：

$\{...,-3,-1,1,3,5,...\}$

。同理，可以發現

的元素是所有除以

的餘數為

的數：

$\{...,-3,1,5,9,...\}$

。

然後再來求

$S\cap T$

，也就是求那些既在

中，也在

中的元素。容易看出，

$T\subsetneq S$

，

的元素都是

的元素，所以

$S\cap T=T$

。故本題選C。（我們上面用Venn圖得到了這個結論：若

$A\subseteq U$

，則

$U\cap A=A$

、

$U\cup A=U$

。）

有關集合的關係式的求解

高考中，偶爾會給出含引數的集合，再給出有關集合的關係式，然後需要由此求出引數。

對於這一類問題，必須要回到並、交、補、屬於、包含於的定義，再考慮一個集合確定時，另一個集合需要滿足什麼條件，有必要時藉助Venn圖，由此把集合的關係式化為更容易處理的關係。然後，把每個集合用引數以最簡單的形式表示出來（儘量用列舉法或區間表示），最終列出有關引數的關係式。此外，如果用Venn圖，看見 #FormatImgID_253#，應特別注意 #FormatImgID_254# 的情況，因為此時Venn圖會有變化

。

例1. 已知全集 #FormatImgID_255#，集合 #FormatImgID_256#，#FormatImgID_257# 是 #FormatImgID_258# 的非空子集，且 #FormatImgID_259#，則必有

A. #FormatImgID_260# B. #FormatImgID_261# C. #FormatImgID_262# D. #FormatImgID_263#

看見覆雜集合關係，我們就畫出Venn圖。先畫出

和

：

上圖中綠色區域就是

$\complement_U P$

，而

$S\subseteq \complement_U P$

，所以這是

、

：

這樣就能看出，選項A正確，B、C、D錯誤。（具體細節請讀者自行補充）但還要再注意

$S=\complement_U P$

時是什麼情況，因為此時Venn圖會有變化。此時易知Venn圖如圖所示，紅色區域為

，綠色區域為

，可見此時A仍然成立。

例2.（2013上海卷）設常數 #FormatImgID_277#，集合 #FormatImgID_278#，#FormatImgID_279#，若 #FormatImgID_280#，則 #FormatImgID_281# 的取值範圍為

A. #FormatImgID_282# B. #FormatImgID_283# C. #FormatImgID_284# D. #FormatImgID_285#

我們考慮哪些

能使得

$A\cup B=\mathbb{R}$

。為了使

$A\cup B=\mathbb{R}$

，需要屬於

$\mathbb{R}$

的每一個元素都屬於

或者屬於

，也就需要那些不屬於

的元素都屬於

，也就是需要

$\complement_\mathbb{R}A\subseteq B$

。（這裡我們沒有用Venn圖，不用檢驗

$\complement_\mathbb{R}A=B$

的情況）

而

$\complement_\mathbb{R}A=\{x|(x-1)(x-a)<0\}$

。

表示的區間起止點不能直接用

表示，需要分類討論：若

，則

$\complement_\mathbb{R}A=(a,1)$

，又

$B=\{x|x\ge a-1\}$

，所以

$\complement_\mathbb{R}A\subseteq B$

恆成立；若

，則

$\complement_\mathbb{R}A=\varnothing \subseteq B$

；若

，則

$\complement_\mathbb{R}A=(1,a)$

，此時若

$\complement_\mathbb{R}A\subseteq B$

，需要

$a\ge 2$

。綜上所述，

的取值範圍為

$(-\infty,2]$

。（如果不確定右邊應該是小括號還是中括號，就代入

，看看是否有

$\complement_\mathbb{R}A\subseteq B$

。）

對於一些較為複雜的集合關係式，應該像下一道題這樣，分步畫Venn圖，不需要一次性確定所有集合。

例3. 已知集合 #FormatImgID_313#，集合 #FormatImgID_314#，若 #FormatImgID_315#，則 #FormatImgID_316# 的取值範圍為

A. #FormatImgID_317# B. #FormatImgID_318# C. #FormatImgID_319# D. #FormatImgID_320#

我們畫出Venn圖。先畫出

$\mathbb{R}$

和

：

然後，我們考慮哪些

能使得

$A\cap (\complement_{\mathbb{R}} B)=\varnothing$

。我們不需要直接畫出

，而是先畫出

$\complement_{\mathbb{R}} B$

，因為這一個條件的意思是

和

$\complement_{\mathbb{R}} B$

沒有重合，如圖所示：

而

$\complement_{\mathbb{R}} B$

就是那些屬於

$\mathbb{R}$

但不屬於

的元素，所以可見

就是圖中的綠色區域。由此可見，

$A\subseteq B$

。此時應該特別注意

的情況。容易發現

時仍然有

$A\cap (\complement_{\mathbb{R}} B)=\varnothing$

。所以，我們把

$A\cap (\complement_{\mathbb{R}} B)=\varnothing$

等價轉化為了

$A\subseteq B$

。

我們已知

$A=\{x|1<x<2\}$

，

$B=\{x|x\ge m\}$

，所以顯然

$A\subseteq B$

時，

的取值範圍為

$(-\infty,1]$

。

如果集合是用列舉法表示的，在按照上面的方法做完後，要根據集合之間的關係來分類討論。要注意集合內的元素不能相同。

例4. 已知集合 #FormatImgID_346#，#FormatImgID_347#，若 #FormatImgID_348#，則實數 #FormatImgID_349# 的值為

A. #FormatImgID_350# B. #FormatImgID_351# 或 #FormatImgID_352# C. #FormatImgID_353# D. #FormatImgID_354# 或 #FormatImgID_355#

給定

，我們考慮哪些

能使得

$A\cap B=B$

。

$A\cap B=B$

的意思就是那些既屬於

，也屬於

的元素就是

的所有元素，也就是

的所有元素都也屬於

，也就是

$B\subseteq A$

。所以我們來觀察

、

的元素。我們發現，

的元素

也屬於

，所以需要

$a+2\in A$

。

我們得出了

是

的元素，但我們不知道

是

的哪個元素，所以我們分類討論。若

，則

。若

，則

。若

，則

或

。綜上所述，我們得到

為

或

。

但我們還要檢驗集合內元素是否相同。若

，

$A=\{1,3,1\}$

，元素有重複，這是不行的。若

，也有

$A=\{1,3,1\}$

，元素有重複，也是不行的。若

，則

$A=\{1,3,4\}$

，

$B=\{1,3\}$

，沒有重複。故答案為

。

集合新定義問題

集合題目可以出得很難。這一類難題一般會要求探究滿足某些性質的集合，或者某種新的運算等，題目五花八門，所幸全國除北京外，高考很少考這一類題目。這一類題目，我們這裡統稱“集合新定義問題”。

對於集合新定義問題，最好的辦法就是探索。探索時，應該從簡單的情況開始，然後再借鑑處理簡單的情況的方法，去處理複雜的情況；從特殊的情況開始，然後再參考探索特殊的情況歸納出的結論，去處理一般的情況。探索的過程中要注意充分利用已知條件

。

例1.（2020浙江卷）設集合 #FormatImgID_395#、#FormatImgID_396#，#FormatImgID_397#，#FormatImgID_398#，#FormatImgID_399#、#FormatImgID_400# 中都至少有兩個元素，且 #FormatImgID_401#、#FormatImgID_402# 滿足：（1）對於任意 #FormatImgID_403#，若 #FormatImgID_404#，都有 #FormatImgID_405#；（2）對於任意 #FormatImgID_406#，若 #FormatImgID_407#，都有 #FormatImgID_408#。則下列命題正確的是

A. 若 #FormatImgID_409# 有 #FormatImgID_410# 個元素，則 #FormatImgID_411# 有 #FormatImgID_412# 個元素

B. 若 #FormatImgID_413# 有 #FormatImgID_414# 個元素，則 #FormatImgID_415# 有 #FormatImgID_416# 個元素

C. 若 #FormatImgID_417# 有 #FormatImgID_418# 個元素，則 #FormatImgID_419# 有 #FormatImgID_420# 個元素

D. 若 #FormatImgID_421# 有 #FormatImgID_422# 個元素，則 #FormatImgID_423# 有 #FormatImgID_424# 個元素

這麼奇怪的一個條件，一時看不出來它的明確含義。看不出來，我們就一點點探索。這道題目只涉及

有三個或四個元素的情況，都比較簡單。我們先探索

有三個元素的情況。

我們設

$S=\{a,b,c\}$

，其中不妨令

，由條件（1），有

$ab\in T$

，

$bc\in T$

，

$ac\in T$

。我們想要利用條件（2），所以我們比較

、

。顯然

，所以

$\frac{ac}{ab}=\frac{c}{b}\in S$

、

$\frac{bc}{ab}=\frac{c}{a}\in S$

、

$\frac{bc}{ac}=\frac{b}{a}\in S$

。但

的元素是

、

，所以這樣，我們就得出了有關

、

的條件。

我們分析

$\frac{c}{b}$

、

$\frac{c}{a}$

、

$\frac{b}{a}$

分別都是

、

中的哪一個。首先根據

，可以判斷

時，

$\frac{b}{a}=b$

，否則

$\frac{b}{a}<b$

，那麼必然

$\frac{b}{a}=a$

。所以我們分類討論。

若

，

$\frac{b}{a}=b$

，同時可以發現

$\frac{c}{a}=c$

，所以只需

$\frac{c}{b}\in S$

。所以我們分析

$\frac{c}{b}$

是

，

，還是

。因為

，所以

$\frac{c}{b}<c$

；因為

，所以

$\frac{c}{b}>1=a$

，所以必然

$\frac{c}{b}=b$

，即

。這樣一來，

$S=\{1,b,b^2\}$

，因為

$ab,ac,bc\in T$

，所以

$\{b,b^2,b^3\}\subseteq T$

。容易發現，

中不可能還有其它元素，否則就不能滿足條件（2）（具體細節請讀者自行補充），所以

$T=\{b,b^2,b^3\}$

，

$S\cup T=\{1,b,b^2,b^3\}$

，有四個元素。

若

，

$\frac{b}{a}=a$

，所以

。用

$\frac{b}{a}$

得不出更多的資訊了，所以接下來，我們換一個，分析

$\frac{c}{a}$

。我們知道，

$\frac{c}{a}>\frac{b}{a}=a$

，

$\frac{c}{a}<c$

，所以

$\frac{c}{a}=b=a^2$

，即

。最後，

$\frac{c}{b}=a\in S$

，滿足條件。此時同理有

$S=\{a,a^2,a^3\}$

，且

$\{a^3,a^4,a^5\}\subseteq T$

。我們不用繼續分析，就能看出

$S\cup T$

中至少有五個元素，所以

$S\cup T$

的元素個數不確定，故排除選項C、D。

我們繼續探索，考慮

有

個元素的情況。我們設

$S=\{a,b,c,d\}$

，其中不妨令

。那麼由條件（1），

$ab,ac,ad,bc,bd,cd\in T$

。我們想要利用條件（2），所以我們需要比較這六個乘積。容易得出

，

，所以只要確定了

與

的大小關係，就能把六個乘積都排序。但這樣就需要分類討論，會很複雜，我們先看看不考慮

、

的大小關係能得出什麼結論。

我們列出所有不考慮

、

的大小關係時，根據條件（2）必須屬於

的元素：

$\frac{ac}{ab}=\frac{c}{b}$

、

$\frac{ad}{ab}=\frac{d}{b}$

、

$\frac{bd}{ab}=\frac{d}{a}$

、

$\frac{cd}{ab}$

、

$\frac{ad}{ac}=\frac{d}{c}$

、

$\frac{bd}{ac}$

、

$\frac{cd}{ac}=\frac{d}{a}$

、

$\frac{cd}{ad}=\frac{c}{a}$

、

$\frac{cd}{bd}=\frac{c}{b}$

、

$\frac{bc}{ab}=\frac{c}{a}$

、

$\frac{bc}{ac}=\frac{b}{a}$

、

$\frac{bd}{bc}=\frac{d}{c}$

、

$\frac{cd}{bc}=\frac{d}{b}$

，去除重複，我們得到

$\frac{d}{a},\frac{d}{b},\frac{d}{c},\frac{c}{a},\frac{c}{b},\frac{b}{a},\frac{cd}{ab},\frac{bd}{ac}\in S$

。我們受到上面

有

個元素情況的啟發，從

$\frac{bc}{ac}=\frac{b}{a}$

分析起，分類討論

和

的情況。

若

，

$\frac{b}{a}=b$

，

$\frac{c}{a}=c$

，

$\frac{d}{a}=d$

，

$a=1<\frac{c}{b}<c$

，所以

$\frac{c}{b}=b$

，

；

$\frac{d}{b}>\frac{c}{b}=b$

，

$\frac{d}{b}<d$

，所以

$\frac{d}{b}=c=b^2$

，

。這樣，

$S=\{1,b,b^2,b^3\}$

。根據條件（1），可知

$\{b,b^2,b^3,b^4,b^5\}\subseteq T$

。我們驗證這能否滿足條件時，發現

$\frac{b^5}{b}\notin S$

，與條件（2）矛盾，所以

$a\neq 1$

。

若

，有

$\frac{b}{a}=a$

，所以

。因為

$\frac{c}{a}>\frac{b}{a}=a$

，

$\frac{c}{a}<c$

，所以

$\frac{c}{a}=b=a^2$

，

。又

$\frac{d}{a}>\frac{c}{a}=b$

，

$\frac{d}{a}<d$

，所以

$\frac{d}{a}=c=a^3$

，

。這樣，

$S=\{a,a^2,a^3,a^4\}$

，由條件（1），有

$\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}\subseteq T$

。容易發現，

中不可能還有其它元素，否則就不能滿足條件（2）（具體細節請讀者自行補充）。所以

$T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}$

，

$S\cup T=\{a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}$

，有

個元素，故選項A正確，B錯誤。

可以發現，我們分析

有四個元素的情況時，用的方法有不少都和

有三個元素的情況類似或相同。例如，在

有四個元素時，

的情況中，我們得到

的方法和在

有三個元素時完全一樣。有興趣的讀者可以嘗試用類似的方法證明：

最多有四個元素。

例2.（2018北京卷理）設 #FormatImgID_563# 為正整數，集合 #FormatImgID_564#，對於集合 #FormatImgID_565# 中的任意元素 #FormatImgID_566# 和 #FormatImgID_567#，記 #FormatImgID_568#。

（1）當 #FormatImgID_569# 時，若 #FormatImgID_570#，#FormatImgID_571#，求 #FormatImgID_572# 和 #FormatImgID_573# 的值；

（2）當 #FormatImgID_574# 時，設 #FormatImgID_575# 是 #FormatImgID_576# 的子集，且滿足：對於 #FormatImgID_577# 中的任意元素 #FormatImgID_578#、#FormatImgID_579#，當 #FormatImgID_580#、#FormatImgID_581# 相同時，#FormatImgID_582# 是奇數；當 #FormatImgID_583#、#FormatImgID_584# 不同時，#FormatImgID_585# 是偶數。求集合 #FormatImgID_586# 中元素個數的最大值；

（3）給定不小於 #FormatImgID_587# 的 #FormatImgID_588#，設 #FormatImgID_589# 是 #FormatImgID_590# 的子集，且滿足：對於 #FormatImgID_591# 中的任意兩個不同的元素 #FormatImgID_592#、#FormatImgID_593#，#FormatImgID_594#。寫出一個集合B，使其元素個數最多，並說明理由。

這裡給出了一個運算

，不知道它是幹什麼用的。本題的第一問就在讓我們用特殊的情況試一試

究竟是幹什麼用的。容易得出，

$M(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}((1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|))=\frac{1}{2}(2+2+0)=2$

，

$M(\alpha,\beta)=\frac{1}{2}((1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|))=\frac{1}{2}(0+2+0)=1$

。

我們可以觀察到，

內部的求和式中每一項都是

或者

，所以我們進一步探究什麼時候求和式中的一項為

，什麼時候為

。

的求和式中，每一項都是

，其中

$x_i,y_i\in \{0,1\}$

。所以我們把所有情況分別試一試，發現

時

，否則

。這樣一來，

的求和式的值就是滿足

的

的個數再乘以

（因為滿足

的每一個

值為求和式貢獻

，其它

值對求和式沒有影響），然後外面再乘一個

$\frac{1}{2}$

，所以

$M(\alpha,\beta)$

就是滿足

的

的個數。

有了這個，我們再來看第二問。當

$\alpha$

、

$\beta$

相同時，

$M(\alpha,\beta)$

是奇數，意思就是對於所有

$\alpha\in B$

，

$M(\alpha,\alpha)$

是奇數。根據運算

的含義，這意思就是

$\alpha$

中有奇數個

。那麼我們就可以列出所有可能的

$\alpha$

：

、

。

接下來，當

$\alpha$

、

$\beta$

不同時，

$M(\alpha,\beta)$

是偶數，這意思就是有偶數個

，使得

。這個條件看起來不好利用。但因為我們要求

的元素個數的最大值，我們可以先試一試哪些

可行。經試驗，我們發現

$B=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}$

可行，因為對於這個

中任兩個元素

$\alpha$

、

$\beta$

，都不存在

使得

，即

$M(\alpha,\beta)=0$

。而且，我們不能往這個

中加入更多元素，因為新加入的元素必然有三個

，不妨設我們新加入

，則取

$\alpha=(0,1,1,1)$

、

$\beta=(0,0,0,1)$

，就有

$M(\alpha,\beta)=1$

，不是偶數。

所以我們想要證明

的元素個數的最大值為

。因為

的元素要從上面列舉出的

個元素中取，而

恰好是

的一半，所以可以想到把這

個元素配成

對，使每一對的兩個元素不能共存（若這一對的兩個元素為

$\alpha$

、

$\beta$

，此即

$M(\alpha,\beta)$

為奇數）。一種配對方式如下（同一列的兩個元素配成一對）：

$(1,0,0,0)\hspace{0.5cm}(0,1,0,0)\hspace{0.5cm}(0,0,1,0)\hspace{0.5cm}(0,0,0,1)$

$(1,1,1,0)\hspace{0.5cm}(1,1,0,1)\hspace{0.5cm}(1,0,1,1)\hspace{0.5cm}(0,1,1,1)$

這樣，若

有多於

個元素，

必然包含上面四對中的至少一對，而上面四對的每一對都不能共存，這產生了矛盾。所以

的元素個數的最大值為

。

最後看第三問。對

的任兩個不同的元素

$\alpha$

、

$\beta$

，都有

$M(\alpha,\beta)=0$

，即不存在

，使得

。這個條件還是不好直接利用，所以我們還是先試一試哪些

可行。

看這個條件，我們可以想到要使

中的元素都是

多，

少的。所以我們先把

這個元素選進

來。然後，再把

，

，。。。，

這些元素選進

來。這個

有

個元素，且它仍然滿足條件。那麼還能再加入元素嗎？不能了，因為再加入任何新的元素，這個元素中必然有

，不妨設這個元素為

，則取

$\alpha=(1,...)$

，

$\beta=(1,0,...,0)$

，那麼

$M(\alpha,\beta)\ge 1$

，不滿足條件。

由此我們可以想到一個證明

的元素個數的最大值為

的方法。設

$\alpha=(x_1,x_2,...,x_n)\in B$

，且其中有某一個

，則對於任何不同於

$\alpha$

的

$\beta=(y_1,y_2,...,y_n)\in B$

，必然有

（否則

$M(\alpha,\beta)\ge 1$

）。這樣一來，對於每一個

，最多存在一個

$\alpha=(x_1,x_2,...,x_n)\in B$

，使得

，我們記這個

$\alpha$

為

$\alpha_i$

。而除了

外，

的每一個元素都至少有一個

，所以對於所有

$\alpha=(x_1,x_2,...,x_n)\in B$

，必然有

$\alpha=(0,0,...,0)$

或存在

使得

$\alpha=\alpha_i$

（使得

的那個

就滿足

$\alpha=\alpha_i$

）。但因為

，所以最多有

個不同的

$\alpha_i$

，所以

最多有

個元素。

最後這個證明，直觀上看來，就是

個元素必然會把每一個位置用

佔據，這樣新的元素不可能在任何一個位置出現

，如圖所示：

本文使用 Zhihu On VSCode 創作併發布

標簽： FormatImgID 集合元素我們所以

上一篇:學配音大概需要多長時間，學會配音大概需要多久？

下一篇：想要釣好魚，你有嘗試過製作窩餌秘方嗎

高中數學：集合

猜你喜歡

關於初戀大家有沒有遺憾過？

紫砂茶具獨特的十大益處你知道多少

改如何學習繪畫裡的變形手法？

春節將至，你必須知道的3大酒桌禮儀

如何回答全能悖論？