您當前的位置：首頁 > 體育

解法二的面積公式是怎麼表示的？x1y2減x2y1什麼意思？

作者：由 Nirvana 發表于體育時間：2021-02-17

高佔2021-02-17 12:45:25

請自行搜尋“向量（向量）叉乘幾何意義”。

或者順便把向量部分再學習一下。

知乎使用者2021-02-17 12:53:37

這是高中數學嗎？還是大學的？

在直角座標系中，三角形三個點的座標如果分別為

三角形OAB的面積可以表示為三角形個頂點出發到另外兩個頂點的向量的外積（又叫叉積，這也是你的這個題前面標題寫的‘叉積為上’）的模的一半，即

$S=\frac{1}{2}|\vec{OA}\times\vec{OB}|=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$

Hint：

叉積在三維座標裡是這樣的，

$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin<\vec a,\vec b>$

$\vec a=(x_1,y_1,z_1),b=(x_2,y_2,z_2)$

$\vec a\times\vec b=\left|\begin{matrix}\vec i&\vec j&\vec k\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{matrix}\right|$

$=(y_1z_2-y_2z_1)\vec i-(x_1z_2-x_2z_1)\vec j+(x_1y_2-x_2y_1)\vec k$

$\vec{OA}\times\vec{OB}=\left|\begin{matrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ x_1&y_1&0\\x_2&y_2&0\end{matrix}\right|=(x_1y_2-x_2y_1)\vec k$

知乎者也2021-02-17 19:50:57

一般座標系當中的兩點與原點的面積都是這個公式，自我推到一下記住都行。

僅供參考，最好自己推導一遍，加深自己的理解和記憶。

知乎使用者2021-02-17 21:49:52

二階行列式剛好表示平行四邊形面積而已

Infty2021-02-23 13:17:10

佔個坑一會講

其實沒有必要割裂高中數學與大學數學，高中也可以有方法推匯出大學數學的內容

開啟電腦開始更新

很好的問題，其他答主的回答也很好，但用外積顯然有些讓高中生難以接受，這篇回答是以高中知識推導這個公式進而引出外積的概念。

其實學習本該是這個樣子，廢話不多說，開始。

對於

$S_{△OAB}=\frac12 (x_1 y_2-x_2y_1)$

其中

$A(x_1,y_1)\quad B(x_2,y_2)$

我們在平面直角座標系中畫出三角形，並將三角形的一個定點平移到座標原點O

其中OA，OB代表三角形的兩條邊。

這時候我們從我們高中階段最為常見的面積公式進行推導

$S=\frac12 |OA| |OB| sin\theta \qquad (1)$

其中

$\theta$

為OA，OB的夾角。

我們再找一個座標系，畫出向量

$\vec{OA}\quad\vec{OB}$

我們知道

$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}| |\vec{OB}| cos\theta \qquad (2)$

我們看這個式子與（1）式的區別，一個是正弦值一個是餘弦值，正弦值和餘弦值是可以轉化的。

我想你最先想到的就是這個公式

$sin\theta^2+cos\theta^2=1$

這個式子也許是可行的，但在這個問題中，使用這個式子無疑是很愚蠢的，因為計算起來會比較複雜，我們有更好的選擇。

$sin\theta=cos(\frac\pi 2 -\theta)\qquad(3)$

這個式子給了我們啟發，我只需要找到一個角

$\varphi=\frac{\pi}{2}-\theta$

，就可以進行替換了。

於是我進行如下操作

將

$\vec{OA}$

逆時針旋轉90°，得到

$\vec{OC}$

此時我們轉換一下（1）式

$\begin{align} S&=\frac12 |OA|\cdot |OB|\cdot sin\theta\\ &=\frac12 |OA|\cdot |OB|\cdot cos\varphi\\ \end{align}$

又因為旋轉

，所以式子又變成了

$S=\frac12 |OC|\cdot |OB|\cdot cos\varphi \qquad (4)$

仔細觀察，這個式子實際上就是

$S=\frac12 \vec{OC}\cdot \vec{OB}\qquad (5)$

現在我們只需要確定C的座標就好了

我們可以根據全等三角形，來判斷C的縱座標長度等於A橫座標長度，C的橫座標長度等於A的縱座標長度。也就是

$|y_C|=|x_A|\quad|x_C|=|y_A|$

然後根據象限確定正負號，得到

$x_C=-y_1\quad y_C=x_1$

當然，我這裡假設

$\vec{OA}$

在第一向量，旋轉後

$\vec{OC}$

在第二象限，你也可以看看

$\vec{OA}$

在別的象限，結果是一樣的。

即C的座標為

代入（5）得到

$S=\frac12 \vec{OC}\cdot \vec{OB}=\frac12 (x_1y_2-x_2y_1)$

但因為三角形面積沒有負數，但內積是可能為負數的，因此我們寫成

$S=\frac12 \vec{OC}\cdot \vec{OB}=\frac12 |x_1y_2-x_2y_1|$

當然，這個東西的本質還是外積的幾何意義，如果感興趣可以學習一下外積，並不難。

外積的基本概念可以參考一下別的答主，很細緻，這裡有我之前寫過的一篇，也可以作為參考。

在數學中 · 與 ×（乘號）有什麼區別？分別在什麼時候用？

而外積

$\vec{OA}\times \vec{OB}$

的幾何意義就是表示以OA，OB為鄰邊組成的平行四邊形的面積，而以OA，OB為鄰邊的三角形的面積是平行四邊形面積的一半，因此

$S=\frac12 |\vec{OA}\times\vec{OB}|$

標簽：外積三角形式子 OA OB

上一篇:60,70後玩過的“柳哨”製作方法

下一篇：特色美食，無論是做什麼魚，牢記“2步走”，營養價值翻倍，魚肉香嫩滑口！

猜你喜歡