為什麼整數的減法不滿足結合律？

「已登出」2019-04-12 08:54:12

整數減法實際是加上一個元素的逆元素 更多細節請參考抽象代數相關教材

知乎使用者2019-04-12 09:48:31

本來就沒有理由滿足結合律啊。。。

而且你仔細看看a-b-c這個式子，a是被“加”的，而b和c是被“減”的，不覺得哪裡有點不太對嗎？

黃磊2019-04-12 12:15:50

a+（-b）+（-c）=a+（（-b）+（-c））

知乎使用者2019-04-12 21:39:24

a+（b+c）=a+b+c，a+（b-c）=a+b-c，a-（b+c）=a-b-c，a-（b-c）=a-b+c；

關注元素c，以a+（b-c）=a+b-c為例，結合律（加括號的那個）相當於先後有兩個運算子號-、+作用於c，如果這兩個運算子號的作用結果還是原來的-，那麼這個式子滿足結合律。抽象成運算子號的運算，就是++=+，+-=-，-+=-，——=+；可見，+號作用於任一符號均還是原符號，而-號作用於任一符號都會改變那個符號。因此括號前邊是+號的式子滿足結合律，前邊是-號的式子不滿足；加法滿足結合律，減法不滿足。

以我有限的群論知識，+和-兩個運算可以構成二階群，+號的性質表明它是恆元（恆元作用於群中的任意元素都得到該元素本身），乘法表如下：

判斷一個式子是否滿足結合律，要看括號前邊的運算子號作用於任意符號後是不是不改變該符號，即只有所涉及的所有運算子號構成的群裡擔任恆元的運算子在式子括號前邊時式子才滿足結合律；

對於一種運算（只有一種運算子號，記為X）來說，判斷是不是滿足結合律，要看該運算作用於自身是不是還是自身，即XX=X^2=X

，很明顯加法滿足，++=+，但減法就不滿足，——=+不是-自身了，因此加法滿足結合律，減法不滿足。

順便討論乘除法的情況，完全相同：

a×（b×c）=a×b×c，a×（b÷c）=a×b÷c，a÷（b×c）=a÷b÷c，a÷（b÷c）=a÷b×c；

即××=×，×÷=÷，÷×=÷，÷÷=×，乘法表為

可見，在只有乘除的式子裡，括號前是×號的滿足結合律，是÷號的不滿足；

作為一種運算，乘號作用於乘號還是乘號自身，除號作用於除號變成了乘號不是除號自身了，因此乘法滿足結合律，除法不滿足。

加減乘除混合運算的情況，由於分配率a×（b+c）=a×b+a×c的存在，數字和運算子號都不守恆了，不知道怎麼分析，也許可以引入新的運算子號來建立一個大群把加減乘除都囊括進去，再找出恆元（滿足結合律的那個）。我水平不夠，想不出來。

但至少我們有一個收穫了，在一個只有加減或只有乘除的很長的式子裡，在任意一個加號或乘號後邊加一個大括號把後邊任意長的元素括起來是沒有風險的，取消一個加號或乘號後邊的任意長的大括號也是沒有風險的。

知乎使用者2019-10-08 11:26:53

我們知，

從而可寫

·

我們已知，減法運算的結果是唯一的，如果減法滿足結合律，那麼對任意的

，應該要有

但實際上，雖然

是唯一的，

是唯一的，但這不代表它們相等

舉出反例即可，

，

，

都是在

中任選的，所以選

，

，

，

則

而

所以結合律

不會成立

·

我們不能說是“什麼東西破壞了結合律”，因為你想說破壞，那麼肯定有其先存在而後毀壞，現在這個結合律是原本就不存在，怎麼破壞？所以這個問題還是過度主觀