近世代數基礎筆記（第一章）

作者：由 MarvelousJustice 發表于繪畫時間：2020-04-05

學校一個朋友跟我說，學高等代數以前先打一個近世代數的底子，這樣會對高等代數學習的更清楚一些，所以我搞了本比較簡單的近世代數的書，打算以知乎為媒介來做做筆記。

第一章基本概念

第一節集合

Def 1。1若干個（有限或無限多個）具有某種特點的固定事物組成的全體叫做一個集合（簡稱集），集合中的事物稱為集合的元素（簡稱

元

）。

Def 1。2一個沒有元素的集合叫做

空集

。

Def 1。3若a是集合A的元素，則記為

$a\in A或A\ni a$

，若a不是集合A的元素，則記為

$a\notin A$

。

Def 1。4子集若B中的每個元素都屬於A，則B是A的

子集

，記為

$B\subset A或A\supset B$

。

Def 1。5若集合B是集合A的子集，且A中至少有一個元素不屬於B，則稱B是A的

真子集

。記為

$B\subseteq A$

。

Def 1。6

集合相等

$A=B\leftrightarrow A\subset B\wedge B\subset A$

。

Def 1。7交集

$A\cap B=\left\{ x|x\in A\wedge x\in B\right\}$

Def 1。8並集

$A\cup B=\left\{ x|x\in A\vee x\in B\right\}$

Def 1.9 集合的積

令

$A_{1},A_{2},...,A_{n}$

是n個集合，由一切從

$A_{1},A_{2},...,A_{n}$

中按順序取出的元素組

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})(a_{i}\in A_{i})$

所組成的集合稱為集合

$A_{1},A_{2},...,A_{n}$

的積，記為

$A_{1}\times A_{2}\times...\times A_{n}$

。

第二節對映

Def 2。1 如果存在法則

，使得對於集合

$A_{1}\times A_{2}\times...\times A_{n}$

中任意一元素

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})(a_{i}\in A_{i})$

，在集合

中有唯一確定的元素

與之對應

，則稱這個法則f是集合

$A_{1}\times A_{2}\times...\times A_{n}$

到集合

的一個對映，元

稱為元素

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

在對映

下的像，元

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

稱為

在對映

下的原像。常把

對映

記為

$f:A_{1}\times A_{2}\times...\times A_{n}\rightarrow D (d=f(a_{1},a_{2},...,a_{n}),a_{i}\in A_{i})$

。

對映需要注意的是像的唯一性。

第三節代數運算

Def 3。1

代數運算

一個

$A\times B$

到

的對映叫做一個

$A\times B$

到

的代數運算。我們通常記為

$\circ:(a,b)\rightarrow d=a\circ b。其中a\in A ,b\in B,d\in D$

。。若

都是有限集合的時候，我們通常用一張表來代表這種代數運算，即

$\circ:（a_{i},b_{j}）\rightarrow d_{ij}$

。

Def 3。2 假如

$\circ 是一個A\times A到A的代數運算$

，我們就說集合A對於代數運算

$\circ$

來說是閉的。也稱

$\circ是A的二元運算或代數運算。$

第四節結合律

Def 4。1 稱一個集合

的代數運算

$\circ$

適合

結合律

，假如對於

的任何三個元

來說，都有

$（a\circ b）\circ c=a\circ(b\circ c)$

。

由於我們的元素個數有限，所以對n的元素加括號的步驟有限，如果我們把所有加括號步驟得到的不同的結果記為

$π_{i}(a_{1},a_{2},...,a_{n})(i=1,2,...N)$

我們規定

Def 4。2 若對於

的

$n(n\geq2)$

個固定元

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$

來說，所有的

$π_{i}(a_{1},a_{2},...,a_{n})(i=1,2,...N)$

都相等，我們就把由這些步驟得到的唯一結果記為

$a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{n}$

。

Th 4。1

$假如一個集合A的代數運算\circ適合結合律，那麼對於A的任意n（n\geq2）$

$個元a_{1},a_{2},...,a_{n}來說，所有的π_{i}(a_{1},a_{2},...,a_{n})(i=1,2,...N)都相等$

，也就是說符號

$a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{n}$

總有意義。

證明：採用數學歸納法來證明，顯然當n=2或n=3是命題成立，假設元素個數

$\leq$

n-1時命題也成立，則只要證明對於任意的

$π(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

，

$π(a_{1},a_{2},...,a_{n})=a_{1}\circ (a_{2}\circ...\circ a_{n})$

即可。

對於任意的

$π(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

，設

$b_{1}$

表示前i個元經過一系列加括號運算得到的結果，

$b_{2}$

表示後n-i個元經過加括號運算得到的結果，因為

$i,n-i\leq n$

，那麼由歸納的假設有

$b_{1}=a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{i}，b_{2}= a_{i+1}\circ...\circ a_{n}$

所以

$π(a_{1},a_{2},...,a_{n})=(a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{i})\circ(a_{i+1}\circ...\circ a_{n})$

假設

，則已經得證，假設

時，

$π(a_{1},a_{2},...,a_{n})=[a_{1}\circ(a_{2}\circ...\circ a_{i})]\circ(a_{i+1}\circ...\circ a_{n})=a_{1}\circ[(a_{2}\circ...\circ a_{i})\circ(a_{i+1}\circ...\circ a_{n})]$

$=a_{1}\circ(a_{2}\circ...\circ a_{n})$

證畢。

第五節交換律

Def 5。1 我們說，一個

$A\times A$

到

的代數運算

$\circ$

適合

交換律

，假如對於集合

的任何兩個元

來說，都有

$a\circ b=b\circ a$

。

Th 5。1 假如一個集合

的代數運算

$\circ$

同時適合交換律和結合律，那麼在

$a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{n}$

裡，元的次序可以交換。

證明採用數學歸納法，當元個數是1或2時，顯然結論成立，假設元個數

時，結論成立，則n的元隨便排列，作成一個：

$a_{i_{1}}\circ a_{i_{2}}\circ...\circ a_{i_{n}}$

，這裡

$i_{1},i_{2},...,i_{n}$

仍是

這n個數，只要證明

$a_{i_{1}}\circ a_{i_{2}}\circ...\circ a_{i_{n}}=a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{n}$

。

由於

$i_{1},i_{2},...,i_{n}$

中一定有一個數是

，假設為

$i_{k}$

，那麼根據歸納假設、結合律、交換律有：

$a_{i_{1}}\circ a_{i_{2}}\circ...\circ a_{i_{n}}=(a_{i_{1}}\circ a_{i_{2}}\circ...\circ a_{i_{k-1}})\circ[a_{n}\circ(a_{i_{k+1}}\circ a_{i_{k+2}}\circ...\circ a_{i_{n}})]$

$=(a_{i_{1}}\circ a_{i_{2}}\circ...\circ a_{i_{k-1}})\circ[(a_{i_{k+1}}\circ a_{i_{k+2}}\circ...\circ a_{i_{n}})\circ a_{n}]$

$=[(a_{i_{1}}\circ a_{i_{2}}\circ...\circ a_{i_{k-1}})\circ(a_{i_{k+1}}\circ a_{i_{k+2}}\circ...\circ a_{i_{n}})]\circ a_{n}$

$=(a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{n-1})\circ a_{n}=a_{1}\circ a_{2}\circ...\circ a_{n}$

證畢。

第六節分配律

Def 6。1 定義兩種代數運算

$\odot$

是一個

$B\times A$

到

的代數運算，

$\oplus$

是一個

的代數運算，我們說，代數運算

$\odot，\oplus$

適合

左分配律

，若果對於

的任何

，

的任何

$a_{1}，a_{2}$

來說，都有

$b\odot(a_{1}\oplus a_{2})=(b\odot a_{1})\oplus(b\odot a_{2})$

。

Th 6。1 假如

$\oplus$

適合結合律，而且

$\odot，\oplus$

適合左分配律，那麼對於

的任何

，

的任何

$a_{1},a_{2},...,a_{n}$

來說，有

$b\odot(a_{1}\oplus...\oplus a_{n})=(b\odot a_{1})\oplus...\oplus(b\odot a_{n})$

。

證明：採用數學歸納法，顯然

時，定理成立，假設有

個元時，命題成立，則有

個元的時候：

$b\odot(a_{1}\oplus...\oplus a_{n})=b\odot[(a_{1}\oplus...\oplus a_{n-1})\oplus a_{n}]=[b\odot (a_{1}\oplus...\oplus a_{n-1})]\oplus(b\odot a_{n})$

$=[(b\odot a_{1})\oplus(b\odot a_{2})\oplus...\oplus(b\odot a_{n-1})]\oplus(b\odot a_{n})=(b\odot a_{1})\oplus...\oplus(b\odot a_{n})$

證畢。

Def 6。2 我們說，代數運算

$\odot，\oplus$

適合

右分配律

，如果

$\forall b\in B\forall a_{1},a_{2}\in A$

$(a_{1}\oplus a_{2})\odot b =(a_{1}\odot b)\oplus(a_{2}\odot b)$

。

Th 6。2 假如

$\oplus$

適合結合律，而且

$\odot，\oplus$

適合右分配律，那麼

$\forall b\in B\forall a_{1},a_{2},...,a_{n}\in A$

有

$(a_{1}\oplus a_{2}\oplus...\oplus a_{n})\odot b=(a_{1}\odot b)\oplus( a_{2}\odot b)\oplus...\oplus(a_{n}\odot b)$

證明類似Th 6。1

第七節雙射、變換

Def 7。1 在一個對映

$f:A\rightarrow\bar{A}$

中，若

$\bar{A}$

中的每一個元素都至少是

中的某一元素的像，那麼

叫做

到

$\bar{A}$

的一個

滿射

。

Def 7。2 一個

到

$\bar{A}$

的對映

$f:A\rightarrow\bar{A}$

，若滿足

$\forall a,b\in A,\forall\bar{a},\bar{b}\in \bar{A}(a\ne b\Rightarrow \bar{a}\ne \bar{b})$

，則稱

是

到

$\bar{A}$

的一個

單射

。

Def 7。3 假如一個

到

$\bar{A}$

的對映

既是滿射又是單射，則稱

為

與

$\bar{A}$

間的一個

雙射

（一一對映）。

Th 7。1 一個

與

$\bar{A}$

間的

雙射

帶來一個通常用

$f^{-1}$

表示的

與

$\bar{A}$

間的

雙射。

證明：定義對映

$f^{-1}：\bar{A}\rightarrow A$

為

$\bar{a}\rightarrow a(\bar{a}=f\left( a \right))$

，先證明這是個對映，對於

$\bar{A}$

中的任一元素

$\bar{a}$

，因為

是單射，所以有唯一確定的

滿足

$\bar{a }=f\left( a \right)$

與之對應；

再證明

$f^{-1}$

是個滿射，即證明對於

中的任何元素

，

$\bar{A}$

中有原像與之對應，這是顯然的，因為

是個

到

$\bar{A}$

的對映，

$\forall a\in A\exists \bar{a}\in \bar{A}(\bar{a}=f\left( a \right))$

；

最後證明

$f^{-1}$

是個單射，即證明

$\forall \bar{a}，\bar{b}\in \bar{A}(\bar{a}\ne \bar{b}\Rightarrow a\ne b)$

，透過

$f(a)=\bar{a},f(b)=\bar{b}$

，若

，則

$\bar{a}=\bar{b}$

，與假設矛盾，所以

$\forall \bar{a}，\bar{b}\in \bar{A}(\bar{a}\ne \bar{b}\Rightarrow a\ne b)$

得證。

Def 7。4 一個

到

的對映叫做

的一個

變換。

相對應的有

滿射變換

，

單射變換

，

雙射變換

。

第八節同態

之前的概念都是單純考慮集合或單純考慮代數運算，從這裡開始，我們討論有代數運算的集合。

Def 8。1一個

到

$\bar{A}$

的對映

稱為對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

來說

$A到\bar{A}$

的

同態對映

，只要滿足

$\forall a,b\in A,f(a\circ b)=f\left( a \right)\bar{\circ} f\left( b \right)$

或寫為

$\forall a,b\in A[(a\rightarrow \bar{a},b\rightarrow \bar{b})\Rightarrow a\circ b\rightarrow \bar{a} \bar{\circ} \bar{b}]$

。

Def 8。2 假如對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

，有一個

到

$\bar{A}$

的滿射的同態對映存在，我們就說，這個對映是一個

同態滿射

，並且稱對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

，

和

$\bar{A}$

同態

。

同態滿射在比較兩個集合對於兩種代數運算的代數性質的時候有很好的效果，見如下幾個定理。

Th 8。1 假如，對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

來說，

$A和\bar{A}同態$

。那麼

（i）若

$\circ$

適合結合律，則

$\bar{\circ}$

適合結合律。

（ii）若

$\circ$

適合交換律，則

$\bar{\circ}$

適合交換律。

證明：（i）對於

$\bar{A}$

中的任意三個元素

$\bar{a},\bar{b},\bar{c}$

，由於A和

$\bar{A}$

同構，所以至少存在A中的三個元素

。

$a\rightarrow \bar{a},b\rightarrow \bar{b},c\rightarrow\bar{c}$

，考慮

$(a\circ b)\circ c\rightarrow (\bar{a}\bar{\circ}\bar{b})\bar{\circ}\bar{c}$

和

$a\circ (b\circ c)\rightarrow \bar{a}\bar{\circ}(\bar{b}\bar{\circ}\bar{c})$

，由於

$\circ$

滿足結合律，所以

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

，由對映的定義有

$\bar{a}\bar{\circ}(\bar{b}\bar{\circ}\bar{c})=(\bar{a}\bar{\circ}\bar{b})\bar{\circ}\bar{c}$

；

（ii）同理對於

$\bar{A}$

中的任意兩個元素

$\bar{a},\bar{b}$

，至少存在兩個

中的元素

，滿足

$a\rightarrow \bar{a},b\rightarrow \bar{b}$

，那麼

$a\circ b\rightarrow \bar{a}\bar{\circ}\bar{b},b\circ a\rightarrow \bar{b}\bar{\circ}\bar{a}$

，考慮到

$a\circ b=b\circ a$

，則

$\bar{a}\bar{\circ}\bar{b}=\bar{b}\bar{\circ}\bar{a}$

，證畢。

Th 8。2 假設

$\odot，\oplus$

都是集合

的代數運算，

$\bar{\odot}，\bar{\oplus}$

是集合

$\bar{A}$

的代數運算，並且存在

到

$\bar{A}$

的滿射

，使得

和

$\bar{A}$

對於代數運算

$\odot，\bar{\odot}$

同態，

和

$\bar{A}$

對於代數運算

$\otimes，\bar{\otimes}$

也同態。那麼，

（i）若

$\odot，\otimes$

適合左分配律，則

$\bar{\odot}，\bar{\oplus}$

也適合左分配律。

（ii）若

$\odot，\otimes$

適合右分配律，則

$\bar{\odot}，\bar{\oplus}$

也適合右分配律。

證明：只要證明（i）即可，（ii）和（i）證明類似。

假設

$\bar{A}$

中的三個元素

$\bar{a},\bar{b},\bar{c}$

，可以假定

$a\rightarrow \bar{a},b\rightarrow \bar{b},c\rightarrow\bar{c}$

，只要證明

$\bar{a}\bar{\odot}(\bar{b}\bar{\oplus}\bar{c})=(\bar{a}\bar{\odot}\bar{b})\bar{\oplus}(\bar{a}\bar{\odot}\bar{c})$

。

$a\odot(b\oplus c)\rightarrow \bar{a}\bar{\odot}(\bar{b}\bar{\oplus}\bar{c}),(a\odot b)\oplus(a\odot c)\rightarrow (\bar{a}\bar{\odot}\bar{b})\bar{\oplus}(\bar{a}\bar{\odot}\bar{c})$

有

$\odot，\oplus$

適合左分配律，所以

$\bar{a}\bar{\odot}(\bar{b}\bar{\oplus}\bar{c})=(\bar{a}\bar{\odot}\bar{b})\bar{\oplus}(\bar{a}\bar{\odot}\bar{c})$

得證。

第九節同構、自同構

Def 9。1 我們稱，一個

與

$\bar{A}$

的雙射

是一個對於代數運算

$\circ，\bar{\circ}$

來說的

與

$\bar{A}$

的

同構對映（簡稱同構）

，假如在

下

$\forall a,b\in A,a\rightarrow \bar{a},b\rightarrow \bar{b}$

就有

$a\circ b\rightarrow \bar{a}\bar{\circ}\bar{b}$

。

Def 9。2 假設在

和

$\bar{A}$

間，對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

來說，存在一個同構對映，那麼稱對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

來說

與

$\bar{A}$

同構，並且用符號

$A≈\bar{A}$

來表示。

對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

來說，

與

$\bar{A}$

同構。那麼對於代數運算

$\circ$

和

$\bar{\circ}$

來說，

和

$\bar{A}$

這兩個集合，抽象的來看，沒有什麼區別（除了命名上的不同），若一個集合有一個對於他自己代數運算所擁有的性質，那麼另一個集合有著完全類似的性質。

Def 9。3

自同構

假如

$\circ$

是

上的一個代數運算，對於

$\circ$

與

$\circ$

來說的一個

與

之間的同構對映稱為一個對於

$\circ$

來說的

的自同構（對映）。

第十節等價關係與集合的分類

這裡不採用張禾瑞《近世代數基礎》上的定義，我們採用卓裡奇中的關於關係的定義。

Def 10。1

關係

序偶（有順序的）

的任何集合稱為關係

$\Re$

。

組成

$\Re$

的所有序偶的第一個元素的集合

稱為關係

$\Re$

的定義域，第二個元素的集合

稱為關係

$\Re$

的值域。

從這個角度，可以把關係

$\Re$

解釋為直積

$X\times Y$

的子集

$\Re$

，而且因為

$X\subset X$

，所以同一個關係可以作為不同集合的子集給出。

常常把

$(x,y)\in \Re$

寫成

$x\Re y$

，並說

與

之間的關係為

$\Re$

。

如果

$\Re\subset X^{2}$

，就說在

上給定了關係

$\Re$

。

Def 10。2 對角線

$\Delta =\left\{ (a,b)\in X^{2}|a=b\right\}$

是

$X^{2}$

的子集，它給出了集合

中元素的

相等關係

，記為

$a\Delta b:(a,b)\in\Delta$

即

。

Def 10。3 集合

上的一個關係

$\sim$

叫做

$a\sim b$

等價關係

，如果·

$\sim$

滿足：

自反性

$a\sim a$

傳遞性

$(a\Re b)\wedge (b\Re c)\Rightarrow a\Re c$

對稱性

$a\Re b\Rightarrow b\Re a$

若

$a\sim b$

，則稱a與b等價

Def 10。4 若能把一個集合

分成若干個子集，使得

中的每一個元素僅屬於一個子集，那麼每個子集叫做類，這些類的全體稱為集合

的一個

分類

。

一個集合上的等價關係和集合的分類有一定的關係，從以下的兩個定理可以看出。

Th 10。1 集合

上的一個分類決定了A上的一個等價關係。

證明：定義一個關係

$a\Re b$

當且僅當

在同一類。

（i）自反性，a和a顯然是同一類的。

（ii）傳遞性，a和b同一類，b和c同一類，顯然a和c是同一類的。

（iii）對稱性，a和b是同一類，可以推出b和a是同一類的。

Th 10。2 集合

上的一個等價關係決定了

的一個分類。

證明：取集合

中的一個元素

，把所有與

等價的所有元素放在一起組成

的一個子集，這個子集用

表示，我們要證明，所有這樣得到的子集就是

的一個分類，我們先證等價的兩個元素

的

是一樣的，再證明

中的每一個元素只能屬於一個子集，再證明

中的每個元素必然屬於某個子集。

（i）要證明

$a\sim b\Rightarrow [a]=[b]$

我們假設

$a\sim b$

，由等價關係的傳遞性和

的定義，有：

任取

$c\in [a]\Rightarrow c\sim a(a\sim b)\Rightarrow c\sim b\Rightarrow c\in [b]$

這就證明了

$[a]\subset[b]$

同理可證

$[b]\subset[a]$

，這樣就證明了

。

（ii）假設

不止屬於一個子集，假定

$a\in[b] ,a\in[c]\Rightarrow(a\sim b,a\sim c)\Rightarrow c\sim b\Rightarrow[c]=[b]$

，這就說明了

只能屬於一個子集。

（iii）

中的每個元素一定屬於某個子集，這是顯然的，

$a\sim a\Rightarrow a\in[a]$

這就證明了與

等價的所有元素組成的子集是

的一個類。

Def 10。5 假設我們有了一個集合的一個分類，稱一個類裡的任何一個元素稱為這個類的一個

代表，

由每個類的一個代表組成的集合叫做一個

全體代表團。

Def 10。6 令

，取一個固定的整數

，定義一個

上的一個關係

$\Re$

，滿足

$a\Re b\Leftrightarrow n|a-b$

（

整除n，也就是

同餘

模

），稱這個關係為同餘關係，記為

。

證明：顯然

與

同餘，自反性成立，

同餘

模

，那麼

，那麼顯然

，對稱性滿足；

$n|a-b\wedge n|b-c\Rightarrow n|(a-b)+(b-c)\Rightarrow n|a-c$

，傳遞性滿足。

Def 10。7 同餘關係確定的

的一個分類叫做模

的剩餘類，我們來看看這個分類是什麼樣子的。任取一個整數，一定與

中的一個整數同餘模

，並且這個整數不可能同時與

中的兩個整數同餘，所以這確定了

的一個分類，我們取

為每個類的代表，當然也可以取

作為每個類的代表。這樣的類稱為模

的

剩餘類

。n是負整數是，得到的剩餘類和模

$\left| n \right|$

的剩餘類完全一樣。

$[0]=\left\{ 0,\pm n,\pm2n,... \right\} ,[1]=\left\{ 1,1\pm n,1\pm2n,...\right\}...\\ [n-1]=\left\{ n-1,n-1\pm n.n-1\pm2n,... \right\}$

Def 10。8

偏序關係

設

是某個集合，

$X=\rho(M)$

是

全體子集的集合，對於集合

$X=\rho(M)$

中的任何兩個元素

，下列三個可能之一總是成立的：

$a\subset b;b\subset a;$

不是

的子集，

也不是

的子集。

定義一個

$X^{2}$

中的關係

$\Re$

：

$a\Re b:=(a\subset b)$

，這個關係就是

的子集間的包含關係。

這個定義有下列性質：

$(I).a\Re a$

（任何集合都是自己的子集）（

自反性

）

$(II).(a\Re b)\wedge (b\Re c)\Rightarrow a\Re c$

（

$a\subset b ,b\subset c\Rightarrow a\subset c$

）（

傳遞性

）

$(III).(a\Re b)\wedge(b\Re a)\Rightarrow a\Delta b,即a=b$

（

反對稱性

）

如果某集合

中的任意兩個元素之間的具有上述三個性質，則稱該關係稱為集合

上的

偏序關係，

常把這個關係寫成

$a\preceq b$

，稱

在

之後。

Def 10。9如果在附加上性質

$\forall a\forall b((a\Re b)\vee(b\Re a))$

，也就是說集合

中的

任何兩個元素都是可比

的，此時稱關係

$\Re$

為序關係，定義了序關係的集合

稱為線性序集。

標簽： def 集合代數運算元素

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