怎樣理解極限的保號性?
作者：由 矢口 發表于 攝影時間：2022-02-09
董靖許2022-02-09 17:24:03我想極限的保號性應該
不難理解
。 具體說來，提供以下兩種理解方法。
理解1：通俗版本
“極限”就是“無限接近”的意思。
以極限
為例，這個式子的通俗理解，就是說當
無限接近於
時，相應地，
就無限接近於常數
。 因此，當
與
足夠接近（但不是無限接近）時，
也會與
足夠接近。
假設
為正數，即
。 那當
與
足夠接近時，自然地，
與
就應該有相同的符號（即
）了吧？（不管
有多麼小，這一點總是可以實現的。）
對於
的情形也是同理。
對於極限
，只需把“
無限接近於
”和“
與
足夠接近”分別替換為“
無限增大”和“
足夠大”即可，其餘不變。
理解2：證明版本
還是以極限
為例，它的規範的數學定義如下（以下內容是我背誦出來的，沒翻書，但應該是正確的）：
設
在
的某一去心鄰域內有定義，如果對於任意正數
（不管它多麼小），總存在正數
，使得當
時，總有
成立，其中
是常數，則稱
為
在趨勢
下的極限，記作
那現在我們已經知道
了，結合以上的極限定義，就知道對於任意的正數
，總存在正數
，使得當
時，有
而上式等價於
注意到
是任取的，那我們可以給
取一個比
小的值（這裡假定
），這樣，當
時，下限
，於是有
；當
時，上限
，於是有
。
再結合極限定義，知對於每個特定的
值，存在正數
，使得當
處於
的去心
鄰域內，以上不等式成立。
對於
的情形，將
改為
即可。
以上兩種方法結合起來使用效果最佳。 個人感覺並不算很難理解，答主再仔細琢磨琢磨吧~
個人認為，關鍵是不要拘泥於那些符號和式子，而是要能夠使用自然語言，發自內心地理解/描述出這些符號和式子背後的東西，然後再將自然語言轉化為數學語言。 這些符號和式子，有時更多地像是對我們一些直覺上的、樸素的理解所進行的嚴謹化（因為我們的直觀理解會有些模稜兩可）。
上一篇:技術進步的另一面
