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拋物線設點法的簡單應用

作者：由 Dwight 發表于體育時間：2020-03-05

封面圖片來源網路侵刪

如果您還不知道如何表示拋物線上兩點的直線方程,建議先學習下面大佬們的文章:

通常類比橢圓和雙曲線問題，我們總是先設出過某些點的直線，用根與係數的關係來建立這些點的關係，但這種方法缺乏對稱性，所以往往會造成不必要的計算量，所以有時採用設點來解決往往能夠取得出奇制勝的效果。

這道用設直線的方法解決繁瑣的題目，我們現在嘗試使用設點法。

題設：已知拋物線

$y^{2}=4x$

的焦點為F，斜率為2的直線交拋物線於A，B兩點，交準線於點P，且

$\vec{PB}=\frac{2}{5}\vec{PA}$

，則該直線在y軸上的截距為_____

，

$\left| AF \right|+\left| BF \right|$

=_____。

解：不妨設

A

$(a^{2},2a)$

，

B

$(b^{2},2b)$

則由

$l:(y_{1}+y_{2})y=2px+y_{1}y_{2}$

得

(上面文章中的公式的直接引用)

$K_{AB}=\frac{2p}{2(a+b)}=\frac{2}{(a+b)}=2$

$\Rightarrow a+b=1$

$\Rightarrow AB:y=2x+2ab$

由

$\vec{PB}=\frac{2}{5}\vec{PA}$

結合拋物線的性質可得

$\frac{x_{A}^{}+\frac{p}{2}}{x_{B}^{}+\frac{p}{2}}=\frac{a^{2}+1}{b^{2}+1}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow ab=-2或 ab=-\frac{4}{9}$

$\Rightarrow AB:y=2x-4$

或

$AB:y=2x-\frac{8}{9}$

進而可得

$\left| AF \right|+\left| BF \right|=a^{2}+b^{2}+2=(a+b)^{2}-2ab+2=3-2ab$

$\Rightarrow$

直線在y軸上的截距為

或

$-\frac{8}{9}$

$\Rightarrow$

$\left| AF \right|+\left| BF \right|=7或\frac{35}{9}$

最後一些補充:

聯立上面兩式不難發現

$\Delta=4p^{2}(a-b)^{2}\geq0$

當且僅當a=b時直線為拋物線的切線。

故上題中的解一定都成立

標簽：直線拋物線截距軸上 _____

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