Markov 鏈與 Fokker-Planck 方程有什麼內在聯絡？

李賈德2017-08-08 01:55:48

不做這一塊，所以不清楚這個問題的應用背景，量子光學裡面，主方程的推導用到了玻恩馬爾可夫近似，而福克普朗克方程是主方程在相干態表象（應該是P表象）下的表示，所以福克普朗克方程的前提就是馬爾可夫近似。

匿名使用者2017-08-08 02:15:44

一般的脈絡是馬爾科夫鏈裡的布朗運動/馬爾科夫過程的維納過程對應的隨機微分方程是郎之萬方程，然後（更一般的）郎之萬方程描述的路徑分佈透過Ito引理（或Ito-Stratonovich方程）給出的方程就是Fokker-Planck方程。

內在聯絡：當你寫出馬爾科夫過程對應的隨機微分方程時，參照上面提到的定理就可以找到對應描述路徑/狀態分佈的Fokker-Planck方程。

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多嘴一句，那個一百人給錢的問題如果從這個角度出發沒有保守勢也沒有穩定分佈，最簡單也是最像回事的描述大概是99維單形上的隨機遊走（當然也不完全一樣）；這樣真寫成的Fokker-Planck方程就跟擴散方程一樣了。

何史提2017-08-08 02:23:36

當你處理布朗運動的時候，其實就是一個Markov過程的特例，而且Fokker-Planck方程則是這過程的連續描寫。

Yupeng2017-09-29 05:55:42

有markov性質的過程很多，Ito diffusion是一個典型，其SDE形式是

dX_t = a_t dt + b_t dW_t

其中W是布朗運動。

先說物理上的：

從particle運動的角度來理解，X_t代表著這個過程在t時刻的state，a項是drift，代表particle隨著時間的deterministic運動的部分，而b項是由於粒子的隨機性引起的，被稱為volatility項。從0時刻觀測不到未來t時刻的state，但可以計算或估算那個時刻的state的機率密度分佈。FK pde的解其實就是這個東西。這個是物理上的含義。

再說數學上的：

FK pde其實就是這個SDE所對應的Kolmogorov forward equation。一個SDE有兩種operator，forward 和 backward，都是與drift跟volatility緊密聯絡的，不同operator對應了不同的Kolmogorov pde。backward pde一般是subject to一些終值條件，然後求解，得到0時刻的狀態；forward則是subject to一些初始條件，來推測未來的狀態。

再說一些現實中的應用：

金融裡，做期權定價時候有pde兩種方式，一個是用forward方式，也就是FK pde，另一個則是用backward。期權在到期日是標的資產的一個給定函式，所以經常會用backward的pde來解，這樣初始價格的問題就是這個pde在0時刻的解。或者用fk pde，得到這個價格粒子在到期日的state distribution，然後乘以期權的函式，做一個定義域的積分也可以。後者的方法也叫做Green function method或者Arrow Debrue price。

黑貓Q形態2018-02-04 09:05:19

FP方程的operator是布朗運動的生成元，這個方程本身描述的就是布朗機率密度隨時間演化

布朗運動自己本身具有馬爾可夫性，所以FP方程的解（密度）也自然有馬爾可夫性

如若把state離散化了，他自然就是個馬爾可夫鏈